Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y+2 y=x^{-3}, \quad y(1)=0

Passo 1

O problema é resolver a EDO linear de primeira ordem
y'(x) + 2\,y(x) = x^{-3}
com condição inicial y(1)=0.
O conteúdo aqui é a técnica do fator integrante para equações da forma
y' + P(x)\,y = Q(x).

Passo 2

Identificamos P(x)=2. O fator integrante \mu(x) é
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}.

Passo 3

Multiplicamos a EDO por \mu(x) para obter
e^{2x}y' + 2\,e^{2x}y = e^{2x}x^{-3}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \bigl(e^{2x}y\bigr)', ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}y\bigr) = e^{2x}x^{-3}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{2x}y(x) = \int e^{2x}x^{-3}\,dx + C.
Não há forma elementar simples para \int e^{2x}x^{-3}\,dx, então mantemos como integral indefinida.

Passo 5

Para ajustar a condição y(1)=0 usamos a integral definida de 1 até x. Escrevemos
e^{2x}y(x) = \int_{1}^{x} e^{2s}s^{-3}\,ds
pois isso garante y(1)=e^{-2}\int_{1}^{1}(\cdots)\,ds=0. Portanto
y(x) = e^{-2x}\int_{1}^{x} e^{2s}\,s^{-3}\,ds.

Resposta

y(x) = e^{-2x}\int_{1}^{x} e^{2s}\,s^{-3}\,ds.

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