Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
x y^prime=y+x^2 sen x com y(pi)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O que a gente tem aqui é uma equação onde a derivada de y em relação a x está relacionada a y e a funções de x . A matéria que vamos usar é a de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação para um formato padrão e usar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de forma mais simples. A equação que temos é:
x dydx = y + x^2 sin x
Nosso objetivo é isolar dydx . Para isso, dividimos ambos os lados por x :
dydx = yx + x sin x

Passo 3

Agora, a equação está no formato padrão de uma equação diferencial linear:
dydx + P(x) y = Q(x)
Aqui, identificamos:
P(x) = -1x e Q(x) = sin x

Passo 4

Vamos encontrar o fator integrante mu(x) , que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral -1x dx = e^-ln |x| = 1x

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x) = 1x :
1x dydx - yx^2 = sin xx
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de yx :
ddx ( yx ) = sin xx

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x :
integral ddx ( yx ) dx = integral sin xx dx
O lado esquerdo simplifica para yx . A integral do lado direito envolve a função seno integral, que não tem uma forma elementar simples, mas podemos expressá-la em termos de funções conhecidas ou deixar a constante de integração:
yx = -cos x + C

Passo 7

Agora, resolvemos para y :
y = -x cos x + Cx

Passo 8

Usamos a condição inicial y(pi) = 0 para encontrar o valor de C :
0 = -pi cos pi + C pi
Sabemos que cos pi = -1 , então:
0 = -pi (-1) + C pi 0 = pi + C pi C pi = -pi C = -1

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y(x) = -x (cos x + 1)

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