Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O que a gente tem aqui é uma equação onde a derivada de
em relação a
está relacionada a
e a funções de
. A matéria que vamos usar é a de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação para um formato padrão e usar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de forma mais simples. A equação que temos é:
Nosso objetivo é isolar
. Para isso, dividimos ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, a equação está no formato padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, identificamos:
Passo 4
Vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
. A integral do lado direito envolve a função seno integral, que não tem uma forma elementar simples, mas podemos expressá-la em termos de funções conhecidas ou deixar a constante de integração:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Passo 8
Usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: