Resolva a equação diferencial.
d yd x=y^3+2 x y^2x^3

Passo 1

Então, a gente tem aqui a equação diferencial dydx = y^3 + 2xy^2x^3. O que a gente precisa fazer é resolver essa equação para encontrar a função y em termos de x. Para isso, vamos usar técnicas de substituição e integração que fazem parte do cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Podemos dividir cada termo do numerador por x^3 para facilitar:
dydx = y^3x^3 + 2x y^2x^3 = y^3x^3 + 2y^2x^2
Agora, vamos observar que isso pode ser reescrito em termos de yx. Vamos fazer a substituição v = yx. Assim, y = v cdot x.

Passo 3

Com y = v cdot x, precisamos encontrar dydx. Usando a regra do produto:
dydx = v + x cdot dvdx
Substituindo isso na equação original, temos:
v + x cdot dvdx = (v x)^3x^3 + 2(v x)^2x^2 = v^3 + 2v^2

Passo 4

Agora, vamos isolar dvdx:
x cdot dvdx = v^3 + 2v^2 - v
dvdx = v^3 + 2v^2 - vx
Essa equação é separável, então podemos separar as variáveis v e x:
dvv^3 + 2v^2 - v = dxx

Passo 5

Vamos simplificar o denominador da fração à esquerda:
v^3 + 2v^2 - v = v(v^2 + 2v - 1)
Então, temos:
dvv(v^2 + 2v - 1) = dxx

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integração do lado direito é mais simples:
integral dxx = ln|x| + C
Para o lado esquerdo, vamos decompor a fração usando frações parciais ou completar o quadrado no denominador.

Passo 7

Completemos o quadrado no denominador v^2 + 2v - 1:
v^2 + 2v - 1 = (v + 1)^2 - 2
Então, a integral fica:
integral dvv[(v + 1)^2 - 2] = ln|x| + C
Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou logarítmica, mas para simplificar, vamos considerar a solução implícita.

Passo 8

Após integrar, obtemos uma relação entre v e x:
12raiz2 ln|v + 1 - raiz2v + 1 + raiz2| = ln|x| + C
Lembrando que v = yx, substituímos de volta:
12raiz2 ln|yx + 1 - raiz2yx + 1 + raiz2| = ln|x| + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
12raiz2 ln|yx + 1 - raiz2yx + 1 + raiz2| = ln|x| + C
onde C é a constante de integração.

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