Então, a gente tem aqui a equação diferencial . O que a gente precisa fazer é resolver essa equação para encontrar a função em termos de . Para isso, vamos usar técnicas de substituição e integração que fazem parte do cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Podemos dividir cada termo do numerador por para facilitar:
Agora, vamos observar que isso pode ser reescrito em termos de . Vamos fazer a substituição . Assim, .
Passo 3
Com , precisamos encontrar . Usando a regra do produto:
Substituindo isso na equação original, temos:
Passo 4
Agora, vamos isolar :
Essa equação é separável, então podemos separar as variáveis e :
Passo 5
Vamos simplificar o denominador da fração à esquerda:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integração do lado direito é mais simples:
Para o lado esquerdo, vamos decompor a fração usando frações parciais ou completar o quadrado no denominador.
Passo 7
Completemos o quadrado no denominador :
Então, a integral fica:
Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou logarítmica, mas para simplificar, vamos considerar a solução implícita.