Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
2 x y^prime+y=6 x com x>0 e y(4)=20

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
2x,y'(x) + y(x) = 6x,
com condição inicial y(4)=20. Isso é uma equação linear na forma padrão y' + P(x)y = Q(x). Para resolver, vamos dividir por 2x e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo a equação por 2x (valendo x>0), obtemos
y' + 12x,y = 3
Aqui P(x)=tfrac12x e Q(x)=3.

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral P(x),dxr) = exp!l(integral 12x,dxr) = exp!l(tfrac12ln xr) = x^1/2

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(x)=x^1/2, teremos
x^1/2y' + 12x^-1/2y = 3x^1/2,
que é exatamente
ddxl(x^1/2yr) = 3x^1/2
Integramos ambos os lados:
x^1/2y = integral 3x^1/2,dx = 3cdotx^3/2tfrac32 + C = 2x^3/2 + C

Passo 5

Isolando y, vem
y(x) = 2x^3/2 + Cx^1/2 = 2x + C,x^-1/2

Passo 6

Impondo a condição inicial y(4)=20:
20 = 2cdot4 + Ccdot4^-1/2 = 8 + C2 Longrightarrow C2=12 Longrightarrow C=24

Resposta

y(x) = 2x + 24,x^-1/2

Exercícios relacionados