Resolva a equação diferencial.
(e^2 y-y cos (x y))+(2 x e^2 y-x cos (x y)+2 y) d yd x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
(e^2 y - y cos(x y)) + (2 x e^2 y - x cos(x y) + 2 y) d yd x = 0
Estamos lidando com uma equação diferencial do tipo exato. Para resolver, vamos precisar identificar os termos que compõem a equação e verificar se ela é exata. Se for, podemos encontrar uma função que relaciona x e y. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
M(x, y) + N(x, y) d yd x = 0
Onde:
M(x, y) = e^2 y - y cos(x y)
N(x, y) = 2 x e^2 y - x cos(x y) + 2 y
Isso facilita a identificação dos termos que vamos trabalhar para verificar a exatidão da equação.

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos checar se as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x são iguais. Ou seja, verificar se:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 4

Primeiro, calculamos partial Mpartial y:
M(x, y) = e^2 y - y cos(x y)
Derivando em relação a y:
partial Mpartial y = 2 e^2 y - cos(x y) + x y sin(x y)

Passo 5

Agora, calculamos partial Npartial x:
N(x, y) = 2 x e^2 y - x cos(x y) + 2 y
Derivando em relação a x:
partial Npartial x = 2 e^2 y - cos(x y) + x y sin(x y)

Passo 6

Comparando as duas derivadas:
partial Mpartial y = 2 e^2 y - cos(x y) + x y sin(x y)
partial Npartial x = 2 e^2 y - cos(x y) + x y sin(x y)
Vemos que:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Isso confirma que a equação é exata. Agora podemos seguir para encontrar a solução.

Passo 7

Como a equação é exata, existe uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M(x, y)
partial Fpartial y = N(x, y)
Vamos integrar M(x, y) em relação a x para encontrar F(x, y).

Passo 8

Integrando M(x, y) em relação a x:
F(x, y) = integral (e^2 y - y cos(x y)) dx = e^2 y x - sin(x y)y y + h(y)
Simplificando:
F(x, y) = e^2 y x - sin(x y) + h(y)
Aqui, h(y) é uma função que depende apenas de y e será determinada a seguir.

Passo 9

Agora, calculamos partial Fpartial y e igualamos a N(x, y) para encontrar h(y):
partial Fpartial y = 2 e^2 y x - x cos(x y) + h'(y) = N(x, y)
Sabemos que:
N(x, y) = 2 x e^2 y - x cos(x y) + 2 y
Portanto:
2 e^2 y x - x cos(x y) + h'(y) = 2 x e^2 y - x cos(x y) + 2 y
Isso implica que:
h'(y) = 2 y
Integrando em relação a y:
h(y) = y^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 10

Agora, substituímos h(y) na expressão de F(x, y):
F(x, y) = e^2 y x - sin(x y) + y^2 + C
Como F(x, y) = constante, podemos escrever:
e^2 y x - sin(x y) + y^2 = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
e^2 y x - sin(x y) + y^2 = C
Onde C é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados