Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Estamos lidando com uma equação diferencial do tipo exato. Para resolver, vamos precisar identificar os termos que compõem a equação e verificar se ela é exata. Se for, podemos encontrar uma função que relaciona
e
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Onde:
Isso facilita a identificação dos termos que vamos trabalhar para verificar a exatidão da equação.
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos checar se as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
são iguais. Ou seja, verificar se:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 4
Primeiro, calculamos
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, calculamos
:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Comparando as duas derivadas:
Vemos que:
Isso confirma que a equação é exata. Agora podemos seguir para encontrar a solução.
Passo 7
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
.
Passo 8
Integrando
em relação a
:
Simplificando:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e será determinada a seguir.
Passo 9
Agora, calculamos
e igualamos a
para encontrar
:
Sabemos que:
Portanto:
Isso implica que:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Agora, substituímos
na expressão de
:
Como
, podemos escrever:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.