Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que precisamos resolver, ou seja, encontrar uma função
que satisfaça essa equação e também uma condição inicial dada, que é
. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas para resolver esse problema.
Passo 2
Vamos começar organizando a equação diferencial para identificar os termos que envolvem
. A equação dada é:
Podemos reescrever isso isolando
:
Então,
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma:
é exata se:
No nosso caso:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função arbitrária que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar
comparando com
. Sabemos que:
Então,
Cancelando
dos dois lados:
Passo 6
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
A integral de
é simples:
Para a segunda parte, usamos integração por partes para
:
Então,
Podemos ignorar a constante
porque ela será absorvida na constante geral da solução.
Passo 7
Agora, temos a função
:
Usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Portanto,
.
Resposta
A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial dada é: