Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
(e^x+y)+(2+x+y e^y) d yd x=0 com y(0)=1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que precisamos resolver, ou seja, encontrar uma função y(x) que satisfaça essa equação e também uma condição inicial dada, que é y(0) = 1 . Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas para resolver esse problema.

Passo 2

Vamos começar organizando a equação diferencial para identificar os termos que envolvem dy/dx . A equação dada é:
(e^x + y) + (2 + x + y e^y) d yd x = 0
Podemos reescrever isso isolando dy/dx :
(2 + x + y e^y) d yd x = -(e^x + y)
Então,
d yd x = -e^x + y2 + x + y e^y

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
é exata se:
partial Mpartial y = partial Npartial x
No nosso caso:
M(x, y) = e^x + y
N(x, y) = 2 + x + y e^y
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 1
partial Npartial x = 1
Como partial Mpartial y = partial Npartial x , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M = e^x + y
Vamos integrar M em relação a x para encontrar F(x, y) :
F(x, y) = integral (e^x + y) , dx = e^x + y x + h(y)
Aqui, h(y) é uma função arbitrária que depende apenas de y .

Passo 5

Agora, vamos encontrar h(y) comparando com N(x, y) . Sabemos que:
partial Fpartial y = x + h'(y) = N = 2 + x + y e^y
Então,
x + h'(y) = 2 + x + y e^y
Cancelando x dos dois lados:
h'(y) = 2 + y e^y

Passo 6

Vamos integrar h'(y) em relação a y para encontrar h(y) :
h(y) = integral (2 + y e^y) , dy
A integral de 2 é simples:
integral 2 , dy = 2y
Para a segunda parte, usamos integração por partes para integral y e^y , dy :
integral y e^y , dy = e^y(y - 1) + C
Então,
h(y) = 2y + e^y(y - 1) + C
Podemos ignorar a constante C porque ela será absorvida na constante geral da solução.

Passo 7

Agora, temos a função F(x, y) :
F(x, y) = e^x + y x + 2y + e^y(y - 1) = C
Usamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar a constante C :
F(0, 1) = e^0 + (1)(0) + 2(1) + e^1(1 - 1) = 1 + 0 + 2 + 0 = 3
Portanto, C = 3 .

Resposta

A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial dada é:
e^x + x y + 2 y + e^y(y - 1) = 3

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