Use o método de Euler para encontrar valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t=2.
  • Com h=0,25
  • Com h=0,1 (usando uma folha de cálculo)
    y^prime=(4-t y) /(1+y^2), y(0)=-2

Passo 1

O problema de valor inicial é
y' = 4 - t,y1 + y^2, y(0) = -2,
e queremos aproximar a solução em t=2 pelo método de Euler explícito usando dois tamanhos de passo: h=0,25 e h=0,1.

Passo 2

O método de Euler explícito gera a sequência
yn+1 = yn + h,f(tn,yn), tn+1 = tn + h,
onde f(t,y)=(4 - t,y)/(1+y^2) e y0=-2,;t0=0. Para chegar em t=2 fazemos N=2/h iterações.

Passo 3

Para h=0,25 temos N=2/0,25=8. Aplicando o esquema iterativo obtemos, após cada passo, os pares (tn,yn):
n=0:;(0,,-2)
n=1:;(0,25,,-1,80)
n=2:;(0,50,,-1,538)
n=3:;(0,75,,-1,184)
n=4:;(1,00,,-0,675)
n=5:;(1,25,;0,128)
n=6:;(1,50,;1,073)
n=7:;(1,75,;1,351)
n=8:;(2,00,;1,496).
Logo, para h=0,25 a aproximação em t=2 é
y(2)approx y8 = 1,496

Passo 4

Para h=0,1 fazemos N=2/0,1=20 iterações, que cabem numa planilha. Seguindo o mesmo esquema e arredondando a cada passo, chega-se a
y20approx 1,432
Portanto, com h=0,1 a aproximação em t=2 é
y(2)approx 1,432

Resposta

Para t=2:
  • Com h=0,25: y(2)approx 1,496.
  • Com h=0,1: y(2)approx 1,432.

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