Esboce as curvas de nível de f para os valores dados de k :
f(x, y)=4 x^2+y^2 ; k=4 ; 9 ; 16

Passo 1

O enunciado pede esboçar as curvas de nível de f(x,y)=4x^2+y^2 para k=4, 9 e 16. O conteúdo é curvas de nível de uma função de duas variáveis; para resolver, basta igualar f(x,y) a cada valor de k e identificar a forma geométrica resultante.

Passo 2

Igualando f(x,y) a k obtemos
4x^2 + y^2 = k,
e, ao dividir ambos os lados por k, temos
x^2k/4 + y^2k = 1
Essa é a forma padrão de uma elipse centrada na origem e alinhada aos eixos coordenados.

Passo 3

Os semieixos da elipse são
a = raizk4 = raizk2 e b = raizk,
onde a é o semieixo no eixo x e b é o semieixo no eixo y.

Passo 4

Para cada valor de k:
Para k=4:
a = raiz42=1, b=raiz4=2,
logo a curva de nível é
x^21^2+y^22^2=1
Para k=9:
a = raiz92=32, b=raiz9=3,
logo
x^2(3/2)^2+y^23^2=1
Para k=16:
a = raiz162=2, b=raiz16=4,
logo
x^22^2+y^24^2=1

Passo 5

No esboço, desenhe elipses centradas em (0,0), alinhadas com os eixos, cujos tamanhos crescem conforme k aumenta:
  • para k=4 os semieixos são (1,2),
  • para k=9 são l(tfrac32,3r),
  • para k=16 são (2,4).

Resposta

As curvas de nível são elipses centradas em (0,0) com semieixos
(a,b)=(1,2), l(tfrac32,3r) e (2,4) para k=4, 9 e 16, respectivamente.

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