Resolva a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolver essa equação (ou seja, encontrar
em função de
, pelo menos implicitamente).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Não há condições iniciais dadas, então a solução terá uma constante arbitrária de integração.
A próxima etapa é separar as variáveis para integrar — mas isso só será feito nos passos seguintes.
A próxima etapa é separar as variáveis para integrar — mas isso só será feito nos passos seguintes.
Passo 2
Vamos verificar se a equação é separável e separar variáveis. A equação é
Multiplicamos ambos os lados por
e por
para agrupar termos em
de um lado e em
do outro:
Aqui a separação foi possível porque a razão do lado direito não contém
e a razão do lado esquerdo não contém
. Agora integramos ambos os lados.
Passo 3
Integramos o lado esquerdo
Para fazer essa integral de maneira didática, uso a substituição
. Então
, ou seja
. Além disso
. Substituindo:
pois
. Agora integramos por partes (ou lembramos da primitiva de
). Faço por partes: tome
e
. Então
e
. Assim
Voltando a
(lembre que
e
), obtemos
Portanto a primitiva do lado esquerdo é
.
Passo 4
Agora integramos o lado direito
Aqui uso a substituição
. Então
, ou
. A integral torna-se
Voltando a
, obtemos
Passo 5
Igualando as primitivase somando a constante de integração de um lado, obtemos
Multiplicando por
e renomeando a constante (chamo de
) ficamos com a forma mais conveniente
Esta é a solução implícita geral da equação diferencial. Aqui
é a constante arbitrária de integração.
Passo 6
Se quisermos escrever
explicitamente em termos de
, a equação
onde definimos para abreviar
é transcendental (envolve
e
multiplicado por uma função de
). Para resolver explicitamente usamos a função de Lambert
, que resolve equações da forma
. Faço as manipulações:
Multiplicando os dois lados por
e definindo
obtemos
Assim
onde
é a função de Lambert (existem ramos diferentes, que aparecem dependendo do sinal e do valor de
). Voltando a
,
Portanto a solução explícita é
com
. Note que essa forma envolve a escolha de ramo da função
e está bem definida quando os argumentos caem no domínio apropriado do ramo escolhido.
Passo 7
Resumo prático para a hora da prova: separar variáveis, integrar cada lado (à esquerda usar substituição
ou partes; à direita usar
), obter a solução implícita
. Se for solicitado explícito, mencionar que se usa Lambert
e escrever a expressão com
mostrada acima.