Resolva a equação diferencial.
\frac{d H}{d R}=\frac{R H^{2} \sqrt{1+R^{2}}}{\ln H}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dH}{dR}=\frac{R\,H^{2}\sqrt{1+R^{2}}}{\ln H}
e pede para resolver essa equação (ou seja, encontrar H em função de R, pelo menos implicitamente).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{(i)}\;\frac{dH}{dR}=\frac{R\,H^{2}\sqrt{1+R^{2}}}{\ln H}.
Não há condições iniciais dadas, então a solução terá uma constante arbitrária de integração.
A próxima etapa é separar as variáveis para integrar — mas isso só será feito nos passos seguintes.

Passo 2

Vamos verificar se a equação é separável e separar variáveis. A equação é
\frac{dH}{dR}=\frac{R\,H^{2}\sqrt{1+R^{2}}}{\ln H}.
Multiplicamos ambos os lados por \dfrac{\ln H}{H^{2}} e por dR para agrupar termos em H de um lado e em R do outro:
\frac{\ln H}{H^{2}}\,dH = R\sqrt{1+R^{2}}\,dR.
Aqui a separação foi possível porque a razão do lado direito não contém H e a razão do lado esquerdo não contém R. Agora integramos ambos os lados.

Passo 3

Integramos o lado esquerdo
\int \frac{\ln H}{H^{2}}\,dH.
Para fazer essa integral de maneira didática, uso a substituição \,u=\ln H. Então du=\dfrac{dH}{H}, ou seja dH=H\,du. Além disso H=e^{u}. Substituindo:
\frac{\ln H}{H^{2}}\,dH = u\cdot e^{-u}\,du,
pois H^{-2}dH = H^{-1}du = e^{-u}du. Agora integramos por partes (ou lembramos da primitiva de u e^{-u}). Faço por partes: tome a=u e dv=e^{-u}du. Então da=du e v=-e^{-u}. Assim
\int u e^{-u}\,du = -u e^{-u} - \int (-e^{-u})\,du = -u e^{-u} - e^{-u} + C = -(u+1)e^{-u} + C.
Voltando a H (lembre que u=\ln H e e^{-u}=H^{-1}), obtemos
\int \frac{\ln H}{H^{2}}\,dH = -\frac{\ln H + 1}{H} + C.
Portanto a primitiva do lado esquerdo é -\dfrac{\ln H +1}{H}.

Passo 4

Agora integramos o lado direito
\int R\sqrt{1+R^{2}}\,dR.
Aqui uso a substituição t=1+R^{2}. Então dt=2R\,dR, ou R\,dR=\dfrac{dt}{2}. A integral torna-se
\int R\sqrt{1+R^{2}}\,dR = \frac{1}{2}\int t^{1/2}\,dt = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}t^{3/2} + C = \frac{1}{3}t^{3/2} + C.
Voltando a R, obtemos
\int R\sqrt{1+R^{2}}\,dR = \frac{1}{3}\bigl(1+R^{2}\bigr)^{3/2} + C.

Passo 5

Igualando as primitivase somando a constante de integração de um lado, obtemos
-\frac{\ln H + 1}{H} = \frac{1}{3}\bigl(1+R^{2}\bigr)^{3/2} + C.
Multiplicando por -1 e renomeando a constante (chamo de C_{1}) ficamos com a forma mais conveniente
\frac{\ln H + 1}{H} = C_{1} - \frac{1}{3}\bigl(1+R^{2}\bigr)^{3/2}.
Esta é a solução implícita geral da equação diferencial. Aqui C_{1} é a constante arbitrária de integração.

Passo 6

Se quisermos escrever H explicitamente em termos de R, a equação
\ln H + 1 = H\cdot A(R),
onde definimos para abreviar
A(R)=C_{1}-\frac{1}{3}\bigl(1+R^{2}\bigr)^{3/2},
é transcendental (envolve \ln H e H multiplicado por uma função de R). Para resolver explicitamente usamos a função de Lambert W, que resolve equações da forma X e^{X}=Y. Faço as manipulações:
\ln H + 1 = H A \quad\Rightarrow\quad e^{\ln H + 1} = e^{H A}
\Rightarrow e\;H = e^{H A} \quad\Rightarrow\quad H e^{-H A} = e^{-1}.
Multiplicando os dois lados por -A e definindo X=-H A obtemos
X e^{X} = -A e^{-1}.
Assim
X = W\!\bigl(-A e^{-1}\bigr),
onde W é a função de Lambert (existem ramos diferentes, que aparecem dependendo do sinal e do valor de -A e^{-1}). Voltando a H,
-H A = W\!\bigl(-A e^{-1}\bigr)\quad\Rightarrow\quad H = -\frac{1}{A}\,W\!\bigl(-A e^{-1}\bigr).
Portanto a solução explícita é
H(R) = -\dfrac{1}{A(R)}\,W\!\bigl(-A(R)\,e^{-1}\bigr),
com A(R)=C_{1}-\dfrac{1}{3}\bigl(1+R^{2}\bigr)^{3/2}. Note que essa forma envolve a escolha de ramo da função W e está bem definida quando os argumentos caem no domínio apropriado do ramo escolhido.

Passo 7

Resumo prático para a hora da prova: separar variáveis, integrar cada lado (à esquerda usar substituição u=\ln H ou partes; à direita usar t=1+R^{2}), obter a solução implícita \dfrac{\ln H+1}{H}=C_{1}-\dfrac{1}{3}(1+R^{2})^{3/2}. Se for solicitado explícito, mencionar que se usa Lambert W e escrever a expressão com W mostrada acima.

Resposta

\displaystyle \frac{\ln H + 1}{H}=C_{1}-\frac{1}{3}\bigl(1+R^{2}\bigr)^{3/2}\n \displaystyle H(R)=-\frac{1}{A(R)}\,W\!\Bigl(-A(R)e^{-1}\Bigr),\quad A(R)=C_{1}-\frac{1}{3}\bigl(1+R^{2}\bigr)^{3/2},

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