Encontre a solução da equação y^prime=-8x^2-8x y+y^2 que satisfaz y(1)=3 sabendo que phi(x)=8x é solução desta equação.

Passo 1

Estamos lidando com uma equação de Riccati da forma y’ = -\frac{8}{x^2} - \frac{8}{x}y + y^2, e sabemos que φ(x)=8/x é uma solução particular. Para resolver, vamos usar a técnica de redução de uma equação de Riccati para uma de Bernoulli e depois para uma linear.

Passo 2

Substituímos y(x)=\frac{8}{x}+u(x). Calculando y’ temos y’=-\frac{8}{x^2}+u’. Substituindo na equação original e cancelando os termos em -\frac{8}{x^2}, obtemos
u'=u^2+8xu

Passo 3

Reconhecemos que ν’=u^2+(8/x)u é uma equação de Bernoulli (grau 2). Fazendo a troca v=1/u, temos v’=-u’/u^2 e, usando a expressão de u’, chega-se à equação linear
v'+8xv=-1

Passo 4

Resolvendo a linear com fator integrante μ(x)=e^{∫8/x dx}=x^8, obtemos
(x^8 v)'=-x^8
Integramos:
x^8 v=-x^99+C

Passo 5

Voltando a u=1/v, temos
u(x)=x^8C-x^99,
e, portanto,
y(x)=8x+x^8C-x^99

Passo 6

Impondo a condição inicial y(1)=3, substituímos x=1 em y(x):
8+\frac{1}{C-1/9}=3 ⇒ C-1/9=-1/5 ⇒ C=-4/45. Substituindo e simplificando, obtemos
y(x)=32-5x^9x,(4+5x^9)

Resposta

y(x)=32-5x^9x,(4+5x^9)

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