Encontre a solução da equação
que satisfaz
sabendo que
é solução desta equação.
Passo 1
Estamos lidando com uma equação de Riccati da forma y’ = -\frac{8}{x^2} - \frac{8}{x}y + y^2, e sabemos que φ(x)=8/x é uma solução particular. Para resolver, vamos usar a técnica de redução de uma equação de Riccati para uma de Bernoulli e depois para uma linear.
Passo 2
Substituímos y(x)=\frac{8}{x}+u(x). Calculando y’ temos y’=-\frac{8}{x^2}+u’. Substituindo na equação original e cancelando os termos em -\frac{8}{x^2}, obtemos
Passo 3
Reconhecemos que ν’=u^2+(8/x)u é uma equação de Bernoulli (grau 2). Fazendo a troca v=1/u, temos v’=-u’/u^2 e, usando a expressão de u’, chega-se à equação linear
Passo 4
Resolvendo a linear com fator integrante μ(x)=e^{∫8/x dx}=x^8, obtemos
Integramos:
Passo 5
Voltando a u=1/v, temos
e, portanto,
Passo 6
Impondo a condição inicial y(1)=3, substituímos x=1 em y(x):
8+\frac{1}{C-1/9}=3 ⇒ C-1/9=-1/5 ⇒ C=-4/45. Substituindo e simplificando, obtemos
8+\frac{1}{C-1/9}=3 ⇒ C-1/9=-1/5 ⇒ C=-4/45. Substituindo e simplificando, obtemos