Resolva usando Integrais de Produtos e Quocientes “Por Dedução”
\n& \int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{1+x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral dxx^2raiz1+x^2
usando dedução a partir de integrais de produtos e quocientes: vamos buscar uma função cuja derivada reproduza o integrando (até sinal).

Passo 2

Escolhemos como candidata
f(x)=raiz1+x^2x,
pois ao derivar um quociente envolvendo raiz1+x^2 provavelmente aparecerá x^2raiz1+x^2 no denominador.

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente em f(x)=u/v com
u=raiz1+x^2, v=x,
então
u'=xraiz1+x^2, v'=1
e
f'(x) =u'v-uv'v^2 =xraiz1+x^2,x-raiz1+x^2cdot1x^2 =x^2-(1+x^2)x^2raiz1+x^2 =-1x^2raiz1+x^2

Passo 4

Como
ddxgl(raiz1+x^2xgr) =-1x^2raiz1+x^2,
segue-se que
integral dxx^2raiz1+x^2 =-raiz1+x^2x+C

Resposta

-raiz1+x^2x+C

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