Resolva usando Integrais de Produtos e Quocientes “Por Dedução”
\n& \int x \ln \left(x^{2}+1\right) d x
\n& \int x \ln \left(x^{2}+1\right) d x
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui: precisamos resolver a integral
usando técnicas de Integrais de Produtos e Quocientes. Isso normalmente envolve a integração por partes, uma ferramenta super útil quando temos produtos de funções. Então, vamos utilizar essa técnica passo a passo.
Passo 2
A integração por partes é baseada na fórmula:
Aqui, a gente precisa escolher quais partes da nossa integral vão ser
e
. A escolha certa facilita muito a resolução!
Passo 3
Vamos definir:
Com isso, vamos precisar encontrar
e
:
Passo 4
Calculando
:
E integrando
:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão da integral restante:
Então, a integral fica:
Passo 7
Para resolver
, vamos fazer uma divisão simples:
Portanto:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, juntando tudo:
Passo 9
Voltando à nossa expressão principal:
Simplificando:
Resposta
Portanto, a integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.