Resolva usando Integrais de Produtos e Quocientes “Por Dedução”
\n& \int x \ln \left(x^{2}+1\right) d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui: precisamos resolver a integral integral x ln(x^2+1) , dx usando técnicas de Integrais de Produtos e Quocientes. Isso normalmente envolve a integração por partes, uma ferramenta super útil quando temos produtos de funções. Então, vamos utilizar essa técnica passo a passo.

Passo 2

A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, a gente precisa escolher quais partes da nossa integral vão ser u e dv. A escolha certa facilita muito a resolução!

Passo 3

Vamos definir:
u = ln(x^2 + 1)
dv = x , dx
Com isso, vamos precisar encontrar du e v:

Passo 4

Calculando du:
du = ddx[ln(x^2 + 1)] , dx = 2xx^2 + 1 , dx
E integrando dv:
v = integral x , dx = x^22

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x ln(x^2+1) , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ln(x^2+1) cdot x^22 - integral x^22 cdot 2xx^2 + 1 , dx

Passo 6

Vamos simplificar a expressão da integral restante:
x^22 cdot 2xx^2 + 1 = x^3x^2 + 1
Então, a integral fica:
ln(x^2+1) cdot x^22 - integral x^3x^2 + 1 , dx

Passo 7

Para resolver integral x^3x^2 + 1 , dx, vamos fazer uma divisão simples:
x^3x^2 + 1 = x - xx^2 + 1
Portanto:
integral x^3x^2 + 1 , dx = integral x , dx - integral xx^2 + 1 , dx

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral x , dx = x^22
integral xx^2 + 1 , dx = 12 ln(x^2 + 1) + C
Então, juntando tudo:
integral x^3x^2 + 1 , dx = x^22 - 12 ln(x^2 + 1) + C

Passo 9

Voltando à nossa expressão principal:
ln(x^2+1) cdot x^22 - ( x^22 - 12 ln(x^2 + 1) ) + C
Simplificando:
(x^2 + 1)2 ln(x^2 + 1) - x^22 + C

Resposta

Portanto, a integral integral x ln(x^2+1) , dx é igual a:
(x^2 + 1)2 ln(x^2 + 1) - x^22 + C
Onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados