Escolha uma opção:
a. y=2 x^2-5 x+7
b. 2 y=x^2+2 x+2
c. y=e^x-2+2 x
d. 2 y=3 x^2-6 x+10
e. y=2 x+1+ln (x-1)
Passo 1
Então, temos um exercício de equações diferenciais que nos pede para encontrar a solução da seguinte equação:
l 2 y^4 y'' - y^3 = y^3(y')^2 y(2) = 5 y'(2) = 3
Além disso, precisamos escolher a resposta correta entre as opções fornecidas. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial. Podemos dividir todos os termos por y^3 para facilitar:
2 y^4 y''y^3 - y^3y^3 = y^3 (y')^2y^3
Simplificando:
2 y y'' - 1 = (y')^2
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação para torná-la uma equação diferencial de segunda ordem mais manejável:
2 y y'' - (y')^2 = 1
Para resolver essa equação, podemos usar uma substituição. Vamos definir p = y' , o que implica que y'' = p' . Substituindo na equação:
2 y p' - p^2 = 1
Passo 4
A equação agora está na forma:
2 y p' = p^2 + 1
Vamos reorganizar para isolar p' :
p' = p^2 + 12 y
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para p em termos de y . Parece complexa, então vamos considerar as opções fornecidas para verificar qual delas satisfaz a equação original.
Passo 5
Vamos testar a opção c: y = e^x-2 + 2x
Primeiro, calculamos a primeira e segunda derivadas:
y' = e^x-2 + 2
y'' = e^x-2
Agora, substituímos esses valores na equação original 2 y y'' - y^3 = y^3 (y')^2 :