Um projétil é lançado no ar. A função que descreve sua altura em relação ao solo em função do tempo é dada por:
h(t)=h0+v0 t-g t^22,
sendo h0 a altura inicial do projétil, v0 a sua velocidade inicial e g approx 10 m / s^2 a força da gravidade (constante).
Se o projétil é lançado do solo com velocidade inicial igual à 20 m / s, determine:
a) Em que instante de tempo a altura máxima é atingida?
b) Depois de quanto tempo o projétil atinge o solo ?

Passo 1

Beleza, olha só o que o exercício pede: a gente tem a função
h(t)=h0+v0t->^22
que dá a altura de um projétil em função do tempo. Aqui o projétil sai do solo, então h0=0, e a velocidade inicial é v0=20,m/s. A gravidade é g=10,m/s².
Conteúdo principal: movimento vertical uniformemente variado (MUV) e derivada para achar o pico.
O que vamos usar:
  • Derivada de h(t) para achar a hora da altura máxima (quando a velocidade vira zero);
  • Resolução de uma equação de 2º grau para descobrir quando h(t)=0 de novo (o projétil volta ao solo).

Passo 2

Teoria rapidinha: se você tem h(t), a derivada h'(t) é a velocidade instantânea. A altura máxima ocorre quando a velocidade cai a zero, ou seja, quando h'(t)=0.
Vamos derivar:
h(t)=20t-tfrac10,t^22=20t-5t^2
h'(t)=ddt(20t-5t^2)=20-10t
Agora iguala a zero:
20-10t=0 Longrightarrow 10t=20 Longrightarrow t=2 s
Pronto, a altura máxima rola aos 2 segundos.

Passo 3

Para saber quando o projétil volta ao solo, achamos t tal que h(t)=0.
Então:
h(t)=20t-5t^2=0
Fatorando:
t,(20-5t)=0 Longrightarrow t=0;ou;20-5t=0
O t=0 é o lançamento. O outro é:
20-5t=0;Longrightarrow;5t=20;Longrightarrow;t=4 s
Então, 4 segundos depois o projétil retorna ao solo.

Resposta

a) A altura máxima é atingida em t=2 segundos.
b) O projétil atinge o solo em t=4 segundos.

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