Um projétil é lançado no ar. A função que descreve sua altura em relação ao solo em função do tempo é dada por:
sendo
a altura inicial do projétil,
a sua velocidade inicial e
a força da gravidade (constante).
Se o projétil é lançado do solo com velocidade inicial igual à
, determine:
a) Em que instante de tempo a altura máxima é atingida?
b) Depois de quanto tempo o projétil atinge o solo ?
a) Em que instante de tempo a altura máxima é atingida?
b) Depois de quanto tempo o projétil atinge o solo ?
Passo 1
Beleza, olha só o que o exercício pede: a gente tem a função
que dá a altura de um projétil em função do tempo. Aqui o projétil sai do solo, então
, e a velocidade inicial é
,m/s. A gravidade é
,m/s².
Conteúdo principal: movimento vertical uniformemente variado (MUV) e derivada para achar o pico.
O que vamos usar:
Conteúdo principal: movimento vertical uniformemente variado (MUV) e derivada para achar o pico.
O que vamos usar:
- Derivada de
para achar a hora da altura máxima (quando a velocidade vira zero); - Resolução de uma equação de 2º grau para descobrir quando
de novo (o projétil volta ao solo).
Passo 2
Teoria rapidinha: se você tem
, a derivada
é a velocidade instantânea. A altura máxima ocorre quando a velocidade cai a zero, ou seja, quando
.
Vamos derivar:
Vamos derivar:
Agora iguala a zero:
Pronto, a altura máxima rola aos 2 segundos.
Passo 3
Para saber quando o projétil volta ao solo, achamos
tal que
.
Então:
Então:
Fatorando:
O
é o lançamento. O outro é:
Então, 4 segundos depois o projétil retorna ao solo.
Resposta
a) A altura máxima é atingida em
segundos.
b) O projétil atinge o solo em segundos.
b) O projétil atinge o solo em