Q2. (2,0 pontos) Seja f um campo escalar e F um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
grad(div F)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a expressão grad(div,F) faz sentido, sabendo que F é um campo vetorial. Para isso vamos usar as definições de divergência e gradiente:
  • A divergência divF converte um campo vetorial suave em um campo escalar.
  • O gradiente grad(,cdot,) atua em campos escalares suaves e produz campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro aplicamos a divergência em F. Por hipótese F é suficientemente suave, logo
phi = div,F
é um campo escalar phicolon R^ntoR.

Passo 3

Em seguida aplicamos o gradiente ao campo escalar phi. Como gradiente está bem definido para campos escalares suaves, obtemos
grad(phi)
que é um campo vetorial R^ntoR^n.

Passo 4

Portanto a composição grad(div,F) faz sentido: primeiro gera um escalar e depois um vetor.

Resposta

A expressão grad(div,F) tem significado e resulta em um campo vetorial.

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