Q2. (2,0 pontos) Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a expressão
faz sentido, sabendo que
é um campo vetorial. Para isso vamos usar as definições de divergência e gradiente:
- A divergência
converte um campo vetorial suave em um campo escalar. - O gradiente
atua em campos escalares suaves e produz campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro aplicamos a divergência em
. Por hipótese
é suficientemente suave, logo
é um campo escalar
.
Passo 3
Em seguida aplicamos o gradiente ao campo escalar
. Como gradiente está bem definido para campos escalares suaves, obtemos
que é um campo vetorial
.
Passo 4
Portanto a composição
faz sentido: primeiro gera um escalar e depois um vetor.
Resposta
A expressão
tem significado e resulta em um campo vetorial.