Sejam as funções
e
.
a) Determine o domínio máximo e a imagem de
e
.
b) Verifique se
e
são pares, ímpares ou periódicas.
c) Calcule
para
e
para
.
a) Determine o domínio máximo e a imagem de
b) Verifique se
c) Calcule
Passo 1
Então, o enunciado diz que temos quatro funções
,
,
e
.
A matéria aqui é composição de funções (domínio e imagem), classificação de funções (par, ímpar, periódica) e avaliação de composições em pontos.
Para resolver a gente vai precisar:
A matéria aqui é composição de funções (domínio e imagem), classificação de funções (par, ímpar, periódica) e avaliação de composições em pontos.
Para resolver a gente vai precisar:
- Saber que o domínio de
é onde está no domínio de , e assim por diante; - Conhecer domínio de cada função (evitar divisão por zero, argumentos de log e arcsin);
- Entender paridade (
) e periodicidade; - Calcular direto
e em .
Passo 2
Parte (a) – domínio e imagem de
.
Queremos .
Queremos
- Domínio de
: . - Domínio de
: o argumento tem que estar em .
Logo precisamos
Resolvendo as duas desigualdades em dois casos:
- Se
, multiplicamos normalmente:
,
.
Daí emsobra . - Se
, ao multiplicar por as desigualdades viram ao contrário, mas dá para checar que não há solução que satisfaça as duas juntas.
Então o domínio de
é
Para a imagem, note que em
temos
e em
temos
. Como
é contínua e crescente em
, ela varre todo
, e
dá
.
Logo
Logo
Passo 3
Parte (a) – domínio e imagem de
.
Agora .
Agora
- Domínio de
: . - Domínio de
: todos os reais.
Então o domínio deé só , ou seja
Para a imagem, como
toma todo valor entre
e
para argumentos reais, temos
Passo 4
Parte (a) – domínio e imagem de
.
Aqui .
Aqui
- Domínio de
: . - Domínio de
: argumento .
Então resolvemos
Isso dá duas situações:
- Numerador e denominador positivos:
e . - Numerador e denominador negativos:
e .
Logo o domínio deé
Para a imagem, note que em
o argumento
e em
ele vai a
. Em
,
varia de
até
. Então
. Aplicando
isso vira
Passo 5
Parte (b) – par, ímpar ou periódica?
-
. Sabemos que , então é função ímpar. Não é periódica. -
. Como , é par. E é periódica de período . -
. Só está definida para , então não faz sentido usar teste par/ímpar clássico (e não tem período).
Passo 6
Parte (c) – cálculo de composições.
-
em :
-
para :
Usando
e a regra
se
, você chega a
Resposta
a)
-
: domínio , imagem . -
: domínio , imagem . -
: domínio , imagem .
b)
-
é ímpar; -
é par e periódica de período ; -
não é par, não é ímpar nem periódica.
c)
e