Sejam as funções f(x)=arcsen(x), g(x)=cos (x), h(x)=log 2(x) e i(x)=3 x-5x.
a) Determine o domínio máximo e a imagem de f circ i, g circ i e h circ i.
b) Verifique se f, g e h são pares, ímpares ou periódicas.
c) Calcule h circ g para x=pi4 e f circ g para x in[0,2 pi].

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos quatro funções
f(x)=arcsin(x), g(x)=cos(x), h(x)=log2(x) e i(x)=3x-5x.
A matéria aqui é composição de funções (domínio e imagem), classificação de funções (par, ímpar, periódica) e avaliação de composições em pontos.
Para resolver a gente vai precisar:
  1. Saber que o domínio de fcirc i é onde i(x) está no domínio de f, e assim por diante;
  2. Conhecer domínio de cada função (evitar divisão por zero, argumentos de log e arcsin);
  3. Entender paridade ( f(-x)=pm f(x)) e periodicidade;
  4. Calcular direto h(g(pi/4)) e f(g(x)) em [0,2pi].

Passo 2

Parte (a) – domínio e imagem de fcirc i.
Queremos (fcirc i)(x)=arcsinl(i(x)r).
  1. Domínio de i: xneq0.
  2. Domínio de arcsin: o argumento tem que estar em [-1,1].
    Logo precisamos
-1 <= i(x) = 3 - 5x <= 1
Resolvendo as duas desigualdades em dois casos:
  • Se x>0, multiplicamos normalmente:
    ;3 - 5x>= -1implies 4>= 5ximplies x>= tfrac54,
    ;3 - 5x<= 1implies 2<= 5ximplies x<= tfrac52.
    Daí em x>0 sobra tfrac54<= x<= tfrac52.
  • Se x<0, ao multiplicar por x as desigualdades viram ao contrário, mas dá para checar que não há solução que satisfaça as duas juntas.
Então o domínio de fcirc i é
xinl[,tfrac54,tfrac52,r]
Para a imagem, note que em x=tfrac54 temos i(tfrac54)=-1 e em x=tfrac52 temos i(tfrac52)=1. Como i(x) é contínua e crescente em (0,infty), ela varre todo [-1,1], e arcsin [-,tfracpi2,tfracpi2].
Logo
Im(fcirc i)=[-,tfracpi2,tfracpi2]

Passo 3

Parte (a) – domínio e imagem de gcirc i.
Agora (gcirc i)(x)=cosl(i(x)r).
  1. Domínio de i: xneq0.
  2. Domínio de cos: todos os reais.
    Então o domínio de gcirc i é só xneq0, ou seja
(-infty,0);cup;(0,infty)
Para a imagem, como cos toma todo valor entre -1 e 1 para argumentos reais, temos
Im(gcirc i)=[-1,1]

Passo 4

Parte (a) – domínio e imagem de hcirc i.
Aqui (hcirc i)(x)=log2!l(i(x)r).
  1. Domínio de i: xneq0.
  2. Domínio de log2: argumento >0.
    Então resolvemos
3x-5x>0
Isso dá duas situações:
  • Numerador e denominador positivos: 3x-5>0 e x>0 implies x>tfrac53.
  • Numerador e denominador negativos: 3x-5<0 e x<0 implies x<0.
    Logo o domínio de hcirc i é
(-infty,0);cup;l(tfrac53,inftyr)
Para a imagem, note que em xtotfrac53^+ o argumento i(x)to0^+ e em xtoinfty ele vai a 3. Em x<0, i(x) varia de 3 até +infty. Então i(x)in(0,3)cup(3,infty). Aplicando log2 isso vira
(-infty,log2 3);cup;(log2 3,infty)

Passo 5

Parte (b) – par, ímpar ou periódica?
  • f(x)=arcsin(x). Sabemos que arcsin(-x)=-arcsin(x), então é função ímpar. Não é periódica.
  • g(x)=cos(x). Como cos(-x)=cos(x), é par. E é periódica de período 2pi.
  • h(x)=log2(x). Só está definida para x>0, então não faz sentido usar teste par/ímpar clássico (e não tem período).

Passo 6

Parte (c) – cálculo de composições.
  1. hcirc g em x=pi4:
(hcirc g)l(tfracpi4r) =log2!l(costfracpi4r) =log2!l(tfracraiz22r) =log2!l(2^-tfrac12r) =-tfrac12
  1. fcirc g para xin[0,2pi]:
(fcirc g)(x)=arcsinl(cos xr)
Usando cos x=sin(tfracpi2 -x) e a regra
arcsin(sin t)=t se tin[-tfracpi2,tfracpi2], você chega a
arcsin(cos x)= tfracpi2 - x, & xin[0,pi], x - tfrac3pi2, & xin[pi,2pi]

Resposta

a)
  • fcirc i: domínio l[tfrac54,tfrac52r], imagem l[-tfracpi2,tfracpi2r].
  • gcirc i: domínio (-infty,0)cup(0,infty), imagem [-1,1].
  • hcirc i: domínio (-infty,0)cup(tfrac53,infty), imagem (-infty,log2 3)cup(log2 3,infty).
b)
  • f é ímpar;
  • g é par e periódica de período 2pi;
  • h não é par, não é ímpar nem periódica.
c)
(hcirc g)(pi/4)=-tfrac12 e
(fcirc g)(x)= tfracpi2 - x, & xin[0,pi], x - tfrac3pi2, & xin[pi,2pi]

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