Encontre a solução da equação seguinte:
Escolha uma opção:
a.
y^2=x^2-6 x+9
b.
y=2-e^x-2
c.
y-y^2=x-2
d.
y=x^2-5 x+7
e.
y=2 x-3-3 ln (x-1)
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
sujeita às condições iniciais
y(2)=1 e
y'(2)=-1 . O assunto aqui é usar a substituição
p=y' , transformar em equação de variáveis separáveis e integrar.
Passo 2
Defina
p=y' . Então
Substituindo em
e dividindo por 4, vem
Passo 3
Separe variáveis:
Fazendo frações parciais,
Logo
Passo 4
Como
p=dy/dx , temos
Integrando,
Multiplicando por 2 e juntando constantes, surge a forma implícita
Passo 5
Use as condições iniciais. Em
x=2 ,
y=1 dá
Também
y'(2)=p(2)=-1 e
logo
B=-2-2=-4 .
Passo 6
Substituindo
k=2 e
B=-4 em
2y^2-2y+2x-4=0 e dividindo por 2,
Isso coincide com a alternativa (c).
Resposta
c.
y - y^2 = x - 2