Encontre a solução da equação seguinte:
l 4 y y^prime prime+4(y^prime)^2=4(y^prime)^3 y(2)=1 y^prime(2)=-1
Escolha uma opção:
a. y^2=x^2-6 x+9
b. y=2-e^x-2
c. y-y^2=x-2
d. y=x^2-5 x+7
e. y=2 x-3-3 ln (x-1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
4,y,y'' ;+;4,(y')^2 ;=;4,(y')^3
sujeita às condições iniciais y(2)=1 e y'(2)=-1. O assunto aqui é usar a substituição p=y', transformar em equação de variáveis separáveis e integrar.

Passo 2

Defina p=y'. Então
y''=dpdx=dpdy,dydx=p,dpdy
Substituindo em
4,y,y''+4,(y')^2=4,(y')^3
e dividindo por 4, vem
y,p,dpdy+p^2=p^3 Longrightarrow y,dpdy=p(p-1)

Passo 3

Separe variáveis:
dpp(p-1)=dyy
Fazendo frações parciais,
integrall(-1p+1p-1r)dp =integraldyy Longrightarrow lnl|p-1pr|=ln|y|+C
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p-1p=k,y Longrightarrow p=11-k,y

Passo 4

Como p=dy/dx, temos
dydx=11-k,y Longrightarrow (1-k,y),dy=dx
Integrando,
integral(1-k,y),dy=integral dx Longrightarrow y-k,y^22=x+A
Multiplicando por 2 e juntando constantes, surge a forma implícita
k,y^2-2y+2x+B=0

Passo 5

Use as condições iniciais. Em x=2, y=1
kcdot1^2-2cdot1+2cdot2+B=0 ;Longrightarrow; k+B+2=0 ;Longrightarrow; B=-k-2
Também y'(2)=p(2)=-1 e
p(2)=11-kcdot y(2)=11-k=-1 ;Longrightarrow; 1-k=-1 ;Longrightarrow; k=2,
logo B=-2-2=-4.

Passo 6

Substituindo k=2 e B=-4 em 2y^2-2y+2x-4=0 e dividindo por 2,
y^2-y+x-2=0 Longrightarrow y -y^2 = x-2
Isso coincide com a alternativa (c).

Resposta

c. y - y^2 = x - 2

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