Mostre pela definição, que :
lim n infty 2^n=infty.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, pela definição de divergência para o infinito, que
limn to infty 2^n = infty
Este é um resultado sobre sequências que crescem sem limite. Vamos usar a definição: uma sequência (an) diverge para +infty se, para todo M>0, existe NinN tal que, para todo n>= N, vale an > M.

Passo 2

Fixe um real arbitrário M>0. Queremos encontrar um índice NinN tal que
forall n>= N: 2^n > M

Passo 3

Como a função nmapsto 2^n é estritamente crescente, basta garantir que
2^N > M
Aplicando logaritmo na base 2, obtemos
N > log2(M)
Logo, podemos definir
N = llceil log2(M)rrceil,
pois lceil log2(M)rceil é o menor inteiro que excede log2(M).

Passo 4

Com essa escolha de N, se n>= N então
2^n >= 2^N > M
Isto satisfaz exatamente a condição da definição de divergência para o infinito. Portanto
limntoinfty2^n = infty

Resposta

limntoinfty2^n = infty.

Exercícios relacionados