Propriedades-Sejam boldsymbola e boldsymbolb números reais, boldsymbolm e boldsymboln números inteiros, temos:
g) (ab)^n=a^nb^n

Passo 1

Vamos provar a propriedade da potência de um quociente
(ab)^n = a^nb^n,
onde a e b são números reais com bneq 0 e n é inteiro. Para isso, vamos usar a definição de potência para n>=0, o caso n=0 e a definição de expoente negativo.

Passo 2

Caso n>=0 (inteiro não negativo): por definição de potência inteira positiva, temos
(ab)^n = underbraceabcdotabcdotsabn fatores = acdot acdots abcdot bcdots b = a^nb^n

Passo 3

Caso n=0: por convenção
(ab)^0 = 1 e a^0b^0 = 11 = 1,
logo a igualdade também vale para n=0.

Passo 4

Caso n<0: escreva n=-k com k>0. Então
(ab)^n = (ab)^-k = 1l(abr)^k = 1a^kb^k = b^ka^k = a^-kb^-k = a^nb^n

Passo 5

Como cobrimos todos os casos ( n>0, n=0 e n<0), concluímos que para todo inteiro n e todo bneq 0 vale
(ab)^n = a^nb^n

Resposta

A propriedade está demonstrada:
boxed(ab)^n = a^nb^n,

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