Resolva as equações exponenciais.
f) 25^x+1256=5^x+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
25^x + 1256 = 5^x+1
O conteúdo aqui envolve expressões com potências de base 5, conversão de bases e o método de substituição para transformar numa equação quadrática.

Passo 2

Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 6 para eliminar o denominador e, em seguida, reescrevemos 25^x como (5^2)^x = 5^2x e 5^x+1 = 5cdot5^x. Assim obtemos
5^2x + 125 = 6 cdot 5^x+1 = 6 cdot 5 cdot 5^x = 30,5^x

Passo 3

Fazemos a substituição
y = 5^x,
com y>0. A equação vira uma quadrática em y:
y^2 + 125 = 30y Longrightarrow y^2 - 30y + 125 = 0

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática
y^2 - 30y + 125 = 0
O discriminante é
De<a = (-30)^2 - 4cdot1cdot125 = 900 - 500 = 400,
então
y = 30 pm raiz4002 = 30 pm 202 ;Longrightarrow; y1 = 25,; y2 = 5

Passo 5

Voltando à variável original, temos 5^x = y. Logo
5^x = 25 implies x = log5 25 = 2,
5^x = 5 implies x = log5 5 = 1

Resposta

As soluções da equação são
x = 2 e x = 1

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