Encontre uma solução para as equações diferenciais abaixo que passe pelos pontos indicados.
x dy/dx = y^2 - y
(1/3, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . O objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa equação e passe pelo ponto . Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais separáveis e algumas técnicas básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e . A equação dada é:
Vamos dividir ambos os lados por para isolar :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Isso significa que todos os termos com ficam de um lado e os termos com ficam do outro. Reescrevemos a equação da seguinte forma:

Passo 4

Para integrar o lado esquerdo, precisamos simplificar a fração. Vamos fatorar o denominador:
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral de ambos os lados. Para o lado esquerdo, usaremos frações parciais:
Resolvendo para e :
Escolhendo :
Escolhendo :
Portanto:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados:
As integrais ficam:

Passo 7

Simplificamos a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Podemos reescrever isso como:
onde é uma constante.

Passo 8

Resolvemos para :

Passo 9

Agora, usamos o ponto para encontrar a constante :

Passo 10

Com , a solução geral fica:
Isso significa que a solução que passa pelo ponto é a função constante .

Resposta

A solução da equação diferencial que passa pelo ponto é .

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