Encontre uma solução para as equações diferenciais abaixo que passe pelos pontos indicados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . O objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa equação e passe pelo ponto . Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais separáveis e algumas técnicas básicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e . A equação dada é:
Vamos dividir ambos os lados por para isolar :
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis e . Isso significa que todos os termos com ficam de um lado e os termos com ficam do outro. Reescrevemos a equação da seguinte forma:
Passo 4
Para integrar o lado esquerdo, precisamos simplificar a fração. Vamos fatorar o denominador:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral de ambos os lados. Para o lado esquerdo, usaremos frações parciais:
Resolvendo para e :
Escolhendo :
Escolhendo :
Portanto:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados:
As integrais ficam:
Passo 7
Simplificamos a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Podemos reescrever isso como:
onde é uma constante.
Passo 8
Resolvemos para :
Passo 9
Agora, usamos o ponto para encontrar a constante :
Passo 10
Com , a solução geral fica:
Isso significa que a solução que passa pelo ponto é a função constante .
Resposta
A solução da equação diferencial que passa pelo ponto é .