Beleza! O exercício pede para calcular a integral dupla . Vamos usar cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Pra resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e aplicar substituições adequadas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região onde vamos integrar. Temos variando de 0 até e, para cada , varia de até . Isso forma uma área triangular no plano , onde sempre é maior ou igual a .
Passo 3
Para simplificar, vamos trocar a ordem das integrais. Agora, vai de 0 até e, para cada , vai de 0 até . A integral fica assim:
Passo 4
Agora, observe que não depende de . Isso facilita a integração em relação a . Integramos de 0 até :
Passo 5
Substituindo de volta na integral, temos:
integral0^raizpi x sin(x^2) , dx
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja , então ou .
Passo 7
Com a substituição, mudamos os limites de integração. Quando 12 integral0^pi sin(u) , du , e quando , . A integral fica:
Passo 8
Agora, integraremos 12 [ -cos(u) ]0^pi = 12 ( -cos(pi) + cos(0) ) . A integral de é , então temos: