1. (2.5 pontos) Calcule a integral integral0^raizpi integraly^raizpi sen(x^2) d x d y.

Passo 1

Beleza! O exercício pede para calcular a integral dupla . Vamos usar cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Pra resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e aplicar substituições adequadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região onde vamos integrar. Temos variando de 0 até e, para cada , varia de até . Isso forma uma área triangular no plano , onde sempre é maior ou igual a .

Passo 3

Para simplificar, vamos trocar a ordem das integrais. Agora, integral0^raizpi integral0^x sin(x^2) , dy , dx vai de 0 até e, para cada , vai de 0 até . A integral fica assim:

Passo 4

Agora, observe que integral0^x sin(x^2) , dy = sin(x^2) cdot y g|0^x = sin(x^2) cdot x não depende de . Isso facilita a integração em relação a . Integramos de 0 até :

Passo 5

Substituindo de volta na integral, temos:
integral0^raizpi x sin(x^2) , dx

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja , então ou .

Passo 7

Com a substituição, mudamos os limites de integração. Quando 12 integral0^pi sin(u) , du , e quando , . A integral fica:

Passo 8

Agora, integraremos 12 [ -cos(u) ]0^pi = 12 ( -cos(pi) + cos(0) ) . A integral de é , então temos:

Passo 9

Calculando os valores trigonométricos:
-cos(pi) = -(-1) = 1
cos(0) = 1
Então:
12 (1 + 1) = 12 cdot 2 = 1

Resposta

O valor da integral é .

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