1. (2,5 pontos) Calcule a integral,
integral triplaB e^(x^2+y^2+x^2)^12 d V
onde B é a bola unitária B=(x, y, z): x^2+y^2+z^2 <= 1 transformando para coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla sobre a bola unitária da função . Primeiro, vamos identificar que conteúdo vamos usar: vamos transformar essa integral para coordenadas esféricas, que são super úteis quando estamos lidando com formas como esferas. Para isso, precisamos saber como converter , e para coordenadas esféricas e também como expressar o elemento de volume nesse sistema.

Passo 2

Vamos começar transformando as coordenadas cartesianas x = r sintheta cosphi para coordenadas esféricas y = r sintheta sinphi . As fórmulas de conversão são:
z = r costheta
Aqui, é a distância do ponto à origem, é o ângulo polar (medido a partir do eixo ) e é o ângulo azimutal (no plano ).

Passo 3

Agora, precisamos expressar a função integranda 2x^2 + y^2 = 2(r sintheta cosphi)^2 + (r sintheta sinphi)^2 = 2r^2 sin^2theta cos^2phi + r^2 sin^2theta sin^2phi em termos de = r^2 sin^2theta (2cos^2phi + sin^2phi) , e . Perceba que no enunciado há , o que simplifica para . Substituindo pelas coordenadas esféricas:

Passo 4

O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Além disso, os limites de integração para a bola unitária em coordenadas esféricas são:
r in [0, 1]
theta in [0, pi]
phi in [0, 2pi]

Passo 5

Agora, podemos escrever a integral em coordenadas esféricas:
integral triplaB e^(2x^2 + y^2)^12 , dV = integral0^2pi integral0^pi integral0^1 e^(r^2 sin^2theta (2cos^2phi + sin^2phi))^12 r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Infelizmente, integrar essa função de forma analítica é extremamente complicado devido à complexidade da expressão exponencial elevada à 12ª potência. Geralmente, esse tipo de integral requer métodos numéricos para ser avaliada.

Resposta

A integral não pode ser resolvida de forma analítica e deve ser calculada utilizando métodos numéricos.

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