- (2,5 pontos) Calcule a integral,
onde
é a bola unitária
transformando para coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla sobre a bola unitária
da função
. Primeiro, vamos identificar que conteúdo vamos usar: vamos transformar essa integral para coordenadas esféricas, que são super úteis quando estamos lidando com formas como esferas. Para isso, precisamos saber como converter
,
e
para coordenadas esféricas e também como expressar o elemento de volume
nesse sistema.
Passo 2
Vamos começar transformando as coordenadas cartesianas
para coordenadas esféricas
. As fórmulas de conversão são:
Aqui,
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo polar (medido a partir do eixo
) e
é o ângulo azimutal (no plano
).
Passo 3
Agora, precisamos expressar a função integranda
em termos de
,
e
. Perceba que no enunciado há
, o que simplifica para
. Substituindo pelas coordenadas esféricas:
Passo 4
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Além disso, os limites de integração para a bola unitária em coordenadas esféricas são:
Passo 5
Agora, podemos escrever a integral em coordenadas esféricas:
Infelizmente, integrar essa função de forma analítica é extremamente complicado devido à complexidade da expressão exponencial elevada à 12ª potência. Geralmente, esse tipo de integral requer métodos numéricos para ser avaliada.
Resposta
A integral não pode ser resolvida de forma analítica e deve ser calculada utilizando métodos numéricos.