Encontre a solução das equações diferenciais de Bernoulli abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Bernoulli
O conteúdo aqui é a equação de Bernoulli com expoente
. Para resolver precisamos:
- Reescrever na forma padrão
- Fazer a substituição
- Resolver a equação linear resultante em
- Voltar à variável
.
Passo 2
Colocamos a equação na forma
Aqui
,
e
.
Passo 3
Fazemos a substituição clássica de Bernoulli:
Calculamos
sabendo que
:
Agora expressamos
em termos de
. Da equação
, temos
Dividindo por
e mudando sinal:
Reescrevendo:
Passo 4
Agora resolvemos a equação linear
O fator integrante é
Multiplicamos a equação por
:
Passo 5
Integramos em ambos os lados:
Para calcular
,
usa-se a fórmula
usa-se a fórmula
Aqui
,
, então
Logo
Portanto
Passo 6
Multiplicando por
,
Voltando à variável
, lembrando
, obtemos
Para simplificar, escrevemos
, dando
onde
é constante arbitrária.
Resposta
com
constante de integração.