Encontre a solução das equações diferenciais de Bernoulli abaixo:
y^{\prime}=-2 y+\operatorname{sen}(x) y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Bernoulli
y' = -2\,y + \operatorname{sen}(x)\,y^2.
O conteúdo aqui é a equação de Bernoulli com expoente n=2. Para resolver precisamos:
  1. Reescrever na forma padrão
  2. Fazer a substituição z = y^{\,1-n} = y^{-1}
  3. Resolver a equação linear resultante em z
  4. Voltar à variável y.

Passo 2

Colocamos a equação na forma
y' + 2\,y = \operatorname{sen}(x)\,y^2.
Aqui P(x)=2, Q(x)=\operatorname{sen}(x) e n=2.

Passo 3

Fazemos a substituição clássica de Bernoulli:
z = y^{\,1-n} = y^{-1}.
Calculamos z' sabendo que z = 1/y:
z' = -\frac{y'}{y^2}.
Agora expressamos y' em termos de z'. Da equação y' + 2y = \operatorname{sen}(x)\,y^2, temos
y' = \operatorname{sen}(x)\,y^2 - 2\,y.
Dividindo por y^2 e mudando sinal:
-\frac{y'}{y^2} = -\operatorname{sen}(x) + \frac{2}{y} \;\Longrightarrow\; z' = -\operatorname{sen}(x) + 2\,z.
Reescrevendo:
z' - 2\,z = -\operatorname{sen}(x).

Passo 4

Agora resolvemos a equação linear
z' - 2\,z = -\operatorname{sen}(x).
O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int -2\,dx} = e^{-2x}.
Multiplicamos a equação por \mu(x):
e^{-2x}z' - 2\,e^{-2x}z = -\operatorname{sen}(x)\,e^{-2x} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}z\bigr) = -\operatorname{sen}(x)\,e^{-2x}.

Passo 5

Integramos em ambos os lados:
e^{-2x}z = \int -\operatorname{sen}(x)\,e^{-2x}\,dx + C.
Para calcular \displaystyle I = \int \operatorname{sen}(x)\,e^{-2x}\,dx,
usa-se a fórmula
\int e^{ax}\operatorname{sen}(bx)\,dx = e^{ax}\,\frac{a\operatorname{sen}(bx)-b\cos(bx)}{a^2+b^2}.
Aqui a=-2, b=1, então
\int e^{-2x}\operatorname{sen}(x)\,dx = e^{-2x}\,\frac{-2\operatorname{sen}(x)-\cos(x)}{5}.
Logo
\int -\operatorname{sen}(x)\,e^{-2x}\,dx = \frac{2\operatorname{sen}(x)+\cos(x)}{5}\,e^{-2x}.
Portanto
e^{-2x}z = \frac{2\operatorname{sen}(x)+\cos(x)}{5}\,e^{-2x} + C.

Passo 6

Multiplicando por e^{2x},
z = \frac{2\operatorname{sen}(x)+\cos(x)}{5} + C\,e^{2x}.
Voltando à variável y, lembrando z = 1/y, obtemos
\frac{1}{y} = \frac{2\operatorname{sen}(x)+\cos(x)}{5} + C\,e^{2x} \;\Longrightarrow\; y = \frac{1}{C\,e^{2x} + \tfrac{2\operatorname{sen}(x)+\cos(x)}{5}}.
Para simplificar, escrevemos K=5C, dando
y(x) = \frac{5}{K\,e^{2x} + 2\operatorname{sen}(x) + \cos(x)},
onde K é constante arbitrária.

Resposta

y(x) = \frac{5}{K\,e^{2x} + 2\operatorname{sen}(x) + \cos(x)},
com K constante de integração.

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