Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas: \frac{d y}{d x}=\frac{2 x y}{3 y^{2}-x^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea
\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{3y^{2}-x^{2}}.
O conteúdo envolvido é a resolução de equações diferenciais homogêneas por meio da substituição y = ux, que transforma em uma equação de variáveis separáveis em u e x.
Passo 2
Reconhecemos que o membro direito é homogêneo de grau zero em x e y, pois
Igualando as integrais e absorvendo constantes, temos
-\ln\bigl|u(1-u^{2})\bigr| = 3\ln|x| + C \;\Longrightarrow\; \ln\bigl|u(1-u^{2})\bigr| + 3\ln|x| = C \;\Longrightarrow\; \ln\bigl|u(1-u^{2})\,x^{3}\bigr| = C.