Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas:
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x y}{3 y^{2}-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea
\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{3y^{2}-x^{2}}.
O conteúdo envolvido é a resolução de equações diferenciais homogêneas por meio da substituição y = ux, que transforma em uma equação de variáveis separáveis em u e x.

Passo 2

Reconhecemos que o membro direito é homogêneo de grau zero em x e y, pois
\frac{2(\lambda x)(\lambda y)}{3(\lambda y)^{2} - (\lambda x)^{2}} = \frac{\lambda^{2}2xy}{\lambda^{2}(3y^{2}-x^{2})} = \frac{2xy}{3y^{2}-x^{2}}.
Logo, fazemos a substituição
y = u x, \quad \frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{3y^{2}-x^{2}} obtemos
u + x\frac{du}{dx} = \frac{2x\,(u x)}{3(u x)^{2}-x^{2}} = \frac{2u\,x^{2}}{x^{2}(3u^{2}-1)} = \frac{2u}{3u^{2}-1}.
Rearranjando,
x\frac{du}{dx} = \frac{2u}{3u^{2}-1} - u = \frac{2u - u(3u^{2}-1)}{3u^{2}-1} = \frac{3u(1 - u^{2})}{3u^{2}-1}.

Passo 4

Separamos variáveis:
\frac{3u^{2}-1}{u(1-u^{2})}\,du = 3\,\frac{dx}{x}.

Passo 5

Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais: buscamos A,B,C tais que
\frac{3u^{2}-1}{u(1-u^{2})} = \frac{A}{u} + \frac{B}{1+u} + \frac{C}{1-u}.
Multiplicando por u(1-u^{2}) e igualando coeficientes, encontra-se
A=-1,\quad B=-1,\quad C=1.
Então
\int \frac{3u^{2}-1}{u(1-u^{2})}\,du = \int\Bigl(-\frac{1}{u} - \frac{1}{1+u} + \frac{1}{1-u}\Bigr)\,du = -\ln|u| - \ln|1+u| - \ln|1-u| + C_{1}.
O lado direito dá
\int 3\,\frac{dx}{x} = 3\ln|x| + C_{2}.

Passo 6

Igualando as integrais e absorvendo constantes, temos
-\ln\bigl|u(1-u^{2})\bigr| = 3\ln|x| + C \;\Longrightarrow\; \ln\bigl|u(1-u^{2})\bigr| + 3\ln|x| = C \;\Longrightarrow\; \ln\bigl|u(1-u^{2})\,x^{3}\bigr| = C.
Voltando a y pela relação u = y/x,
u(1-u^{2})\,x^{3} = \frac{y}{x}\Bigl(1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}\Bigr)x^{3} = y\,(x^{2}-y^{2}) = \text{constante}.

Resposta

A solução geral implícita é
y\,(x^{2}-y^{2}) = C,
onde C é uma constante arbitrária.

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