Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas:
\frac{d y}{d x}=\frac{4 x+3 y}{2 x+y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \frac{4x + 3y}{2x + y}
que é uma equação de homogênea do tipo \frac{dy}{dx}=f\bigl(\frac{y}{x}\bigr). Para resolver, vamos usar a substituição
y = v x,
onde v=v(x). Isso transforma a equação em uma de variáveis separáveis em v e x.

Passo 2

Com y=v x, temos
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo em \frac{dy}{dx} = \frac{4x+3y}{2x+y} obtemos
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{4x + 3(vx)}{2x + vx} = \frac{4 + 3v}{2 + v}.
Logo,
x\frac{dv}{dx} = \frac{4 + 3v}{2 + v} - v = \frac{4 + 3v - v(2+v)}{2+v} = \frac{4 + v - v^2}{2+v}.

Passo 3

Reescrevendo para separar variáveis, temos
\frac{2+v}{\,4 + v - v^2\,}\,dv = \frac{dx}{x}.
Agora precisamos calcular a integral de cada lado:
\int \frac{2+v}{4 + v - v^2}\,dv = \int \frac{dx}{x}.

Passo 4

No numerador 2+v\), buscamos escrever \[2+v = A\,(4 + v - v^2)' + B,
onde (4 + v - v^2)' = 1 - 2v. Igualando coeficientes:
2+v = A(1-2v) + B \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} -2A = 1,\\\ A + B = 2, \end{cases}
daí A = -\tfrac12\] e \(B = \tfrac{5}{2}. Então
\frac{2+v}{4 + v - v^2} = -\tfrac12\,\frac{1-2v}{4 + v - v^2} + \frac{5}{2}\,\frac{1}{4 + v - v^2}.

Passo 5

Integramos o primeiro termo usando \frac{d}{dv}(4 + v - v^2)=1-2v:
\int -\tfrac12\,\frac{1-2v}{4 + v - v^2}\,dv = -\frac12 \ln\bigl|4 + v - v^2\bigr|.

Passo 6

Para o segundo termo, note que
4 + v - v^2 = -\Bigl(v^2 - v -4\Bigr) = \frac{17}{4} -\Bigl(v-\tfrac12\Bigr)^2,
logo, com u=v-\tfrac12 e a=\tfrac{\sqrt{17}}{2},
\int \frac{1}{4 + v - v^2}\,dv = \int \frac{1}{a^2 - u^2}\,du = \frac{1}{a}\,\mathrm{arctanh}\!\Bigl(\frac{u}{a}\Bigr) = \frac{2}{\sqrt{17}}\, \mathrm{arctanh}\!\Bigl(\frac{2v-1}{\sqrt{17}}\Bigr).
Multiplicando por \tfrac{5}{2}
\int \frac{5/2}{4 + v - v^2}\,dv = \frac{5}{\sqrt{17}}\, \mathrm{arctanh}\!\Bigl(\frac{2v-1}{\sqrt{17}}\Bigr).

Passo 7

Somando os dois resultados e igualando a \int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C, obtemos
-\frac12 \ln\bigl|4 + v - v^2\bigr| + \frac{5}{\sqrt{17}}\, \mathrm{arctanh}\!\Bigl(\frac{2v-1}{\sqrt{17}}\Bigr) = \ln|x| + C.
Voltando a v=\tfrac{y}{x} e reorganizando em forma implícita, uma escrita simplificada é
\ln\bigl|4x^2 + xy - y^2\bigr| -\frac{10}{\sqrt{17}}\, \mathrm{arctanh}\!\Bigl(\frac{2y - x}{\sqrt{17}\,x}\Bigr) = \widetilde C,
onde \widetilde C é constante arbitrária.

Resposta

\ln\bigl|4x^2 + xy - y^2\bigr| -\frac{10}{\sqrt{17}}\, \mathrm{arctanh}\!\Bigl(\frac{2y - x}{\sqrt{17}\,x}\Bigr) = C,
sendo C constante de integração.

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