Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
que é uma equação de homogênea do tipo
. Para resolver, vamos usar a substituição
onde
. Isso transforma a equação em uma de variáveis separáveis em
e
.
Passo 2
Com
, temos
Substituindo em
obtemos
Logo,
Passo 3
Reescrevendo para separar variáveis, temos
Agora precisamos calcular a integral de cada lado:
Passo 4
No numerador
onde
. Igualando coeficientes:
daí
. Então
Passo 5
Integramos o primeiro termo usando
:
Passo 6
Para o segundo termo, note que
logo, com
e
,
Multiplicando por
dá
Passo 7
Somando os dois resultados e igualando a
, obtemos
Voltando a
e reorganizando em forma implícita, uma escrita simplificada é
onde
é constante arbitrária.
Resposta
sendo
constante de integração.