Solve the following logarithmic equations.
Find
if
.
Find
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação envolvendo um produto de logaritmos na forma
. A matéria que vamos usar aqui é de logaritmos, especialmente as propriedades de mudança de base e de multiplicação de logaritmos. Vamos precisar entender como simplificar esse produto para encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade bem útil dos logaritmos:
. Isso significa que podemos simplificar dois logaritmos multiplicados dessa forma em um único logaritmo.
Passo 3
Vamos aplicar essa propriedade no nosso produto:
Como
(porque
), o produto dos dois primeiros logaritmos dá 2.
Passo 4
Continuando com o próximo logaritmo:
Aqui, usamos novamente a propriedade de multiplicação de logaritmos. Assim, nosso produto agora é
.
Passo 5
Se continuarmos aplicando essa propriedade para todo o produto, vamos telescopar os logaritmos até o último, e acabamos com:
Isso significa que
.
Resposta
Resolvendo a equação
, temos:
Portanto,
.