Solve the following logarithmic equations.
Find n if (log 2 3) cdot(log 3 4) cdot(log 4 5) ldots(log n(n+1))=10.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação envolvendo um produto de logaritmos na forma log23 cdot log34 cdot log45 cdots logn(n+1) = 10. A matéria que vamos usar aqui é de logaritmos, especialmente as propriedades de mudança de base e de multiplicação de logaritmos. Vamos precisar entender como simplificar esse produto para encontrar o valor de n.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade bem útil dos logaritmos: logab cdot logbc = logac. Isso significa que podemos simplificar dois logaritmos multiplicados dessa forma em um único logaritmo.

Passo 3

Vamos aplicar essa propriedade no nosso produto:
log23 cdot log34 = log24
Como log24 = 2 (porque 2^2 = 4), o produto dos dois primeiros logaritmos dá 2.

Passo 4

Continuando com o próximo logaritmo:
2 cdot log45 = log25
Aqui, usamos novamente a propriedade de multiplicação de logaritmos. Assim, nosso produto agora é log25.

Passo 5

Se continuarmos aplicando essa propriedade para todo o produto, vamos telescopar os logaritmos até o último, e acabamos com:
log2(n+1) = 10
Isso significa que 2^10 = n + 1.

Resposta

Resolvendo a equação 2^10 = n + 1, temos:
n = 2^10 - 1 = 1024 - 1 = 1023
Portanto, n = 1023.

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