Solve the following logarithmic equations.
log 7(x+1)+log 7(x+3)=1+log 7(x+13).

Passo 1

Então, a gente tem uma equação envolvendo logaritmos na base 7:
log7(x+1) + log7(x+3) = 1 + log7(x+13)
Vamos resolver essa equação usando as propriedades dos logaritmos e álgebra básica para encontrar o valor de x .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a soma de logaritmos com a mesma base pode ser combinada em um único logaritmo multiplicando os argumentos. Ou seja:
loga b + loga c = loga (b times c)
Aplicando isso na nossa equação:
log7((x+1)(x+3)) = 1 + log7(x+13)

Passo 3

Agora, vamos isolar os logaritmos em um dos lados. Subtraindo log7(x+13) de ambos os lados:
log7((x+1)(x+3)) - log7(x+13) = 1
Usando a propriedade da divisão de logaritmos:
loga b - loga c = loga (bc)
Aplicando isso:
log7((x+1)(x+3)x+13) = 1

Passo 4

Agora, para eliminar o logaritmo, lembramos que:
loga b = c Rightarrow a^c = b
Aplicando isso na nossa equação:
7^1 = (x+1)(x+3)x+13
Simplificando 7^1 para 7:
7 = (x+1)(x+3)x+13

Passo 5

Vamos resolver essa equação fracionária. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por x+13 para eliminar o denominador:
7(x+13) = (x+1)(x+3)
Distribuindo o 7:
7x + 91 = x^2 + 4x + 3

Passo 6

Agora, vamos levar todos os termos para um lado da equação para formar uma equação quadrática igual a zero:
x^2 + 4x + 3 - 7x - 91 = 0
Simplificando:
x^2 - 3x - 88 = 0

Passo 7

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde, para nossa equação x^2 - 3x - 88 = 0, temos a = 1, b = -3 e c = -88.
Calculando o discriminante ( De<a):
De<a = (-3)^2 - 4 times 1 times (-88) = 9 + 352 = 361
Como De<a = 361 é positivo, existem duas soluções reais:
x = 3 pm raiz3612 = 3 pm 192
Portanto:
x1 = 3 + 192 = 11 e x2 = 3 - 192 = -8

Passo 8

Mas precisamos verificar se essas soluções são válidas no contexto da equação original, já que logaritmos de números negativos não existem.
Para x = 11:
x+1 = 12 > 0, x+3 = 14 > 0, x+13 = 24 > 0
Tudo está certo.
Para x = -8:
x+1 = -7 < 0 (não válido) ãá
Portanto, x = -8 não é uma solução válida.

Resposta

A solução da equação é x = 11 .

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