Solve the following logarithmic equations.
.
Passo 1
Então, a gente tem uma equação envolvendo logaritmos na base 7:
Vamos resolver essa equação usando as propriedades dos logaritmos e álgebra básica para encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a soma de logaritmos com a mesma base pode ser combinada em um único logaritmo multiplicando os argumentos. Ou seja:
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos isolar os logaritmos em um dos lados. Subtraindo
de ambos os lados:
Usando a propriedade da divisão de logaritmos:
Aplicando isso:
Passo 4
Agora, para eliminar o logaritmo, lembramos que:
Aplicando isso na nossa equação:
Simplificando
para 7:
Passo 5
Vamos resolver essa equação fracionária. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Distribuindo o 7:
Passo 6
Agora, vamos levar todos os termos para um lado da equação para formar uma equação quadrática igual a zero:
Simplificando:
Passo 7
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde, para nossa equação
, temos
,
e
.
Calculando o discriminante (
):
Como
é positivo, existem duas soluções reais:
Portanto:
Passo 8
Mas precisamos verificar se essas soluções são válidas no contexto da equação original, já que logaritmos de números negativos não existem.
Para
:
Tudo está certo.
Para
:
Portanto,
não é uma solução válida.
Resposta
A solução da equação é
.