Encontre a solução estacionária e faça uma mudança de variável que transforme a seguinte equação na equação do calor homogênea:
\left\{\begin{array}{l} \alpha^{2} \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}}-6 x=\frac{\partial u(x, t)}{\partial t} \\\ u(0, t)=10, u(1, t) \stackrel{\rightharpoonup}{=} 5 \\\ u(x, 0)=f(x) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) encontrar a solução estacionária (ou solução de regime permanente) da equação diferencial parcial dada; (ii) apresentar uma mudança de variável que transforme a equação dada na equação do calor homogênea. As informações que o enunciado fornece são:
\alpha^{2}\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}-6x=\frac{\partial u(x,t)}{\partial t},
as condições de contorno
u(0,t)=10,\qquad u(1,t)=5,
e a condição inicial
u(x,0)=f(x).
Aqui \alpha é uma constante dada; assumimos que \alpha\neq 0. A notação \stackrel{\rightharpoonup}{=}5 interpretamos como u(1,t)=5.

Passo 2

O que é a solução estacionária? É uma solução que não depende do tempo, ou seja, uma função \;u_s(x)\; tal que \;\frac{\partial u_s}{\partial t}=0\;. Substituindo \;u(x,t)=u_s(x)\; na equação, obtemos uma equação diferencial ordinária para \;u_s(x):
\alpha^{2}\frac{d^{2}u_s(x)}{dx^{2}}-6x=0,
com as mesmas condições de contorno espaciais
u_s(0)=10,\qquad u_s(1)=5.
Explico: como u_s não depende de t, a derivada temporal some e sobra uma ODE em x.

Passo 3

Vamos resolver a ODE passo a passo. A equação é
\alpha^{2}u_s''(x)-6x=0.
Isolando u_s'',
u_s''(x)=\frac{6}{\alpha^{2}}x.
Agora integramos uma vez em x para obter u_s'(x). A integral de x é x^{2}/2, então
u_s'(x)=\int \frac{6}{\alpha^{2}}x\,dx=\frac{6}{\alpha^{2}}\cdot\frac{x^{2}}{2}+C_{1}=\frac{3}{\alpha^{2}}x^{2}+C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração. Eu mostrei cada passo da integral: multipliquei a constante por \int x\,dx.

Passo 4

Integramos de novo para obter u_s(x). Integrando \frac{3}{\alpha^{2}}x^{2}+C_{1} em x,
u_s(x)=\int\left(\frac{3}{\alpha^{2}}x^{2}+C_{1}\right)dx=\frac{3}{\alpha^{2}}\cdot\frac{x^{3}}{3}+C_{1}x+C_{2}=\frac{1}{\alpha^{2}}x^{3}+C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Repare que \frac{3}{\alpha^{2}}\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{1}{\alpha^{2}}x^{3}.

Passo 5

Agora aplicamos as condições de contorno para encontrar C_{1} e C_{2}. Usando u_s(0)=10,
u_s(0)=\frac{1}{\alpha^{2}}\cdot 0^{3}+C_{1}\cdot 0 + C_{2}=C_{2}=10.
Portanto C_{2}=10. Usando u_s(1)=5,
u_s(1)=\frac{1}{\alpha^{2}}\cdot 1^{3}+C_{1}\cdot 1 + 10=\frac{1}{\alpha^{2}}+C_{1}+10=5.
Resolvendo para C_{1},
C_{1}=5-10-\frac{1}{\alpha^{2}}=-5-\frac{1}{\alpha^{2}}.

Passo 6

Substituindo C_{1} e C_{2} em u_s(x) obtemos a solução estacionária explicitamente:
u_s(x)=\frac{1}{\alpha^{2}}x^{3}+\left(-5-\frac{1}{\alpha^{2}}\right)x+10.
Uma forma equivalente, um pouco factorizada, é
u_s(x)=\frac{x^{3}-x}{\alpha^{2}}-5x+10.
Eu mostrei a mesma expressão de duas maneiras para facilitar a leitura na prova.

Passo 7

Agora a mudança de variável. A ideia padrão (e muito útil) é subtrair a solução estacionária para eliminar o termo fonte -6x. Definimos
v(x,t)=u(x,t)-u_s(x).
Vou mostrar passo a passo que v satisfaz a equação do calor homogênea. Primeiro as derivadas:
\frac{\partial v}{\partial t}=\frac{\partial u}{\partial t}-\underbrace{\frac{\partial u_s}{\partial t}}_{=0}=\frac{\partial u}{\partial t},
porque u_s não depende de t. E para a derivada em x de segunda ordem,
\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-u_s''(x).
Substituímos na equação inicial:
\alpha^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-6x=\frac{\partial u}{\partial t}.
Escrevendo \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}+u_s''(x) e \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial v}{\partial t}, obtemos
\alpha^{2}\Big(\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}+u_s''(x)\Big)-6x=\frac{\partial v}{\partial t}.
Por definição de u_s (veja Passo 2), temos \alpha^{2}u_s''(x)-6x=0. Assim o termo com u_s'' e -6x se cancelam, sobrando
\alpha^{2}\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}=\frac{\partial v}{\partial t}.
Essa é exatamente a equação do calor homogênea (no formato clássico \;v_t=\alpha^{2}v_{xx}\;).

Passo 8

Finalmente, os novos contornos e condição inicial para v. Como v=u-u_s e u(0,t)=10, u_s(0)=10, temos
v(0,t)=u(0,t)-u_s(0)=10-10=0.
De forma semelhante v(1,t)=u(1,t)-u_s(1)=5-5=0. A condição inicial fica
v(x,0)=u(x,0)-u_s(x)=f(x)-u_s(x).
Portanto transformamos o problema original num problema de calor homogêneo com condições de contorno homogêneas, que é bem conhecido e pode ser resolvido por séries de Fourier, separação de variáveis, etc., dependendo do que a prova pedir.

Resposta

u_s(x)=\frac{1}{\alpha^{2}}x^{3}+\left(-5-\frac{1}{\alpha^{2}}\right)x+10=\frac{x^{3}-x}{\alpha^{2}}-5x+10
\text{Mudança: }v(x,t)=u(x,t)-u_s(x)\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial v}{\partial t}=\alpha^{2}\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}},\quad v(0,t)=v(1,t)=0,\quad v(x,0)=f(x)-u_s(x)ç

Exercícios relacionados