O enunciado pede duas coisas: (i) encontrar a solução estacionária (ou solução de regime permanente) da equação diferencial parcial dada; (ii) apresentar uma mudança de variável que transforme a equação dada na equação do calor homogênea. As informações que o enunciado fornece são:
Aqui \alpha é uma constante dada; assumimos que \alpha\neq 0. A notação \stackrel{\rightharpoonup}{=}5 interpretamos como u(1,t)=5.
Passo 2
O que é a solução estacionária? É uma solução que não depende do tempo, ou seja, uma função \;u_s(x)\; tal que \;\frac{\partial u_s}{\partial t}=0\;. Substituindo \;u(x,t)=u_s(x)\; na equação, obtemos uma equação diferencial ordinária para \;u_s(x):
\alpha^{2}\frac{d^{2}u_s(x)}{dx^{2}}-6x=0,
com as mesmas condições de contorno espaciais
u_s(0)=10,\qquad u_s(1)=5.
Explico: como u_s não depende de t, a derivada temporal some e sobra uma ODE em x.
Passo 3
Vamos resolver a ODE passo a passo. A equação é
\alpha^{2}u_s''(x)-6x=0.
Isolando u_s'',
u_s''(x)=\frac{6}{\alpha^{2}}x.
Agora integramos uma vez em x para obter u_s'(x). A integral de x é x^{2}/2, então
Essa é exatamente a equação do calor homogênea (no formato clássico \;v_t=\alpha^{2}v_{xx}\;).
Passo 8
Finalmente, os novos contornos e condição inicial para v. Como v=u-u_s e u(0,t)=10, u_s(0)=10, temos
v(0,t)=u(0,t)-u_s(0)=10-10=0.
De forma semelhante v(1,t)=u(1,t)-u_s(1)=5-5=0. A condição inicial fica
v(x,0)=u(x,0)-u_s(x)=f(x)-u_s(x).
Portanto transformamos o problema original num problema de calor homogêneo com condições de contorno homogêneas, que é bem conhecido e pode ser resolvido por séries de Fourier, separação de variáveis, etc., dependendo do que a prova pedir.