Sabendo-se que u(x, t)=\operatorname{sen}(n \pi x / L) \cos (n \pi a t / L), n=1,2, \cdots é solução do problema
\left\{\begin{array}{l} u_{t t}=a^{2} u_{x x} \\\ u(0, t)=0=u(L, t) \end{array}\right.
resolva o problema abaixo
\left\{\begin{array}{l} u_{t t}=5 u_{x x} \\\ u(0, t)=0=u(\pi, t) \\\ u(x, 0)=2 \operatorname{sen}(3 x)-4 \operatorname{sen}(7 x) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor de contorno e condições iniciais:
\begin{cases} u_{tt}=5\,u_{xx},\\[4pt] u(0,t)=0=u(\pi,t),\\[4pt] u(x,0)=2\operatorname{sen}(3x)-4\operatorname{sen}(7x). \end{cases}
Informações relevantes que temos: 0<x<\pi (domínio espacial implícito), a equação é a onda com coeficiente 5 (ou seja a^{2}=5), as condições de contorno são homogeneous Dirichlet em x=0 e x=\pi, e a condição inicial de deslocamento é dada explicitamente como combinação de senos. O enunciado não fornece explicitamente u_{t}(x,0) — usualmente, quando se mostra a solução modal \sin(n\pi x/L)\cos(n\pi a t/L), está implícito que a velocidade inicial é zero; portanto consideraremos u_{t}(x,0)=0.]

Passo 2

Vamos construir a solução por superposição das modos normais (explicando por que isso funciona). Pelo método da separação de variáveis (resumo didático):
  • Procuramos soluções da forma u(x,t)=X(x)T(t).
  • Substituindo em u_{tt}=a^{2}u_{xx} com a^{2}=5 e dividindo por X T obtemos
\frac{T''(t)}{a^{2}T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
onde \lambda é constante de separação.
  • A equação espacial fica X''+\lambda X=0 com X(0)=0=X(\pi). Essas condições implicam autovalores \lambda_n=(n)^{2} e autofunções X_n(x)=\sin(nx), n=1,2,\dots (aqui usamos L=\pi, então n\pi/L=n).
  • A equação temporal associada é T''+(a^{2}\lambda_n)T=0, ou seja
T''+(n a)^{2}T=0,
cuja solução geral é T_n(t)=A_n\cos(n a t)+B_n\sin(n a t).
  • Assim o princípio da superposição nos dá a solução geral (série em modos):
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_{n}\cos(n a t)+B_{n}\sin(n a t)\bigr)\sin(nx),
onde a=\sqrt{5}. Aqui A_n e B_n são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora aplicamos as condições iniciais para achar A_n e B_n.
  • Para t=0 temos
u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\sin(nx).
Mas o enunciado dá diretamente
u(x,0)=2\operatorname{sen}(3x)-4\operatorname{sen}(7x).
Comparando termos na base ortogonal \{\sin(nx)\}, concluímos que
A_{3}=2,\qquad A_{7}=-4,
e todos os demais A_{n}=0 para n\neq3,7.
  • Para a velocidade inicial usamos u_{t}(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(-A_{n} n a\sin(n a t)+B_{n} n a\cos(n a t)\bigr)\sin(nx). Em t=0 fica
u_{t}(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,n a\,\sin(nx).
Como assumimos u_{t}(x,0)=0, obtemos B_{n}=0 para todo n.

Passo 4

Substituindo os coeficientes determinados na série modal, a solução fica só com os modos n=3 e n=7 e com a=\sqrt{5}:
u(x,t)=2\sin(3x)\cos\bigl(3\sqrt{5}\,t\bigr)-4\sin(7x)\cos\bigl(7\sqrt{5}\,t\bigr).

Passo 5

Verificações rápidas (para ganhar confiança na resposta):
  • As condições de contorno são satisfeitas porque \sin(3\cdot0)=\sin(7\cdot0)=0 e \sin(3\pi)=\sin(7\pi)=0, logo u(0,t)=u(\pi,t)=0.
  • Em t=0 obtemos u(x,0)=2\sin(3x)-4\sin(7x), que é a condição inicial dada.
  • A velocidade inicial é zero, pois u_{t}(x,0)=0 pela escolha B_n=0.

Resposta

u(x,t)=2\sin(3x)\cos\bigl(3\sqrt{5}\,t\bigr)-4\sin(7x)\cos\bigl(7\sqrt{5}\,t\bigr).

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