Informações relevantes que temos: 0<x<\pi (domínio espacial implícito), a equação é a onda com coeficiente 5 (ou seja a^{2}=5), as condições de contorno são homogeneous Dirichlet em x=0 e x=\pi, e a condição inicial de deslocamento é dada explicitamente como combinação de senos. O enunciado não fornece explicitamente u_{t}(x,0) — usualmente, quando se mostra a solução modal \sin(n\pi x/L)\cos(n\pi a t/L), está implícito que a velocidade inicial é zero; portanto consideraremos u_{t}(x,0)=0.]
Passo 2
Vamos construir a solução por superposição das modos normais (explicando por que isso funciona). Pelo método da separação de variáveis (resumo didático):
Procuramos soluções da forma u(x,t)=X(x)T(t).
Substituindo em u_{tt}=a^{2}u_{xx} com a^{2}=5 e dividindo por X T obtemos
A equação espacial fica X''+\lambda X=0 com X(0)=0=X(\pi). Essas condições implicam autovalores \lambda_n=(n)^{2} e autofunções X_n(x)=\sin(nx), n=1,2,\dots (aqui usamos L=\pi, então n\pi/L=n).
A equação temporal associada é T''+(a^{2}\lambda_n)T=0, ou seja
T''+(n a)^{2}T=0,
cuja solução geral é T_n(t)=A_n\cos(n a t)+B_n\sin(n a t).
Assim o princípio da superposição nos dá a solução geral (série em modos):
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_{n}\cos(n a t)+B_{n}\sin(n a t)\bigr)\sin(nx),
onde a=\sqrt{5}. Aqui A_n e B_n são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora aplicamos as condições iniciais para achar A_n e B_n.