Suponha que as extremidades de uma barra de cobre (alpha^2=1,14 cm^2 / s) com 100 cm de comprimento são mantidas a 0^circ C, enquanto o centro é aquecido a 100^circ C por uma fonte externa de calor, e que está situação é mantida até resultar num estado estacionário.
Encontre a distribuição de temperatura no estado estacionário.

Passo 1

Resumindo: temos uma barra de cobre de comprimento 100 cm cujas extremidades (em x=0 e x=100) estão mantidas a 0^circC, enquanto o ponto médio x=50 cm é mantido a 100^circC. Como estamos num estado estacionário, a equação de calor em 1D reduz-se à equação de Laplace
d^2Tdx^2=0,
que nos diz que, em cada região sem fonte interna, a distribuição de temperatura é uma função linear de x.

Passo 2

Vamos resolver em 0<= x<= 50. A equação
d^2Tdx^2=0
tem solução geral
T(x)=A1,x+B1
Aplicando as condições de contorno nesta região:
1. T(0)=0 implica B1=0.
2. T(50)=100 implica A1cdot50+0=100, ou seja A1=2.
Logo, em 0<= x<=50,
T(x)=2,x

Passo 3

Agora em 50<= x<=100, novamente
d^2Tdx^2=0
gera
T(x)=A2,x+B2
Aqui usamos:
1. T(50)=100 50A2+B2=100.
2. T(100)=0 100A2+B2=0.
Subtraindo as duas equações:
(100A2+B2)-(50A2+B2)=0-100 implies 50A2=-100 implies A2=-2
Então, de 50A2+B2=100 vem
50cdot(-2)+B2=100 implies B2=200
Logo, em 50<= x<=100,
T(x)=-2,x+200

Resposta

A distribuição de temperatura no estado estacionário é
T(x)= 2,x, & 0<= x<= 50,[6pt] -2,x+200, & 50<= x<= 100 ]

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