Suponha que as extremidades de uma barra de cobre
com 100 cm de comprimento são mantidas a
, enquanto o centro é aquecido a
por uma fonte externa de calor, e que está situação é mantida até resultar num estado estacionário.
Encontre a distribuição de temperatura no estado estacionário.
Encontre a distribuição de temperatura no estado estacionário.
Passo 1
Resumindo: temos uma barra de cobre de comprimento
cujas extremidades (em
e
) estão mantidas a
, enquanto o ponto médio
cm é mantido a
. Como estamos num estado estacionário, a equação de calor em
D reduz-se à equação de Laplace
que nos diz que, em cada região sem fonte interna, a distribuição de temperatura é uma função linear de
.
Passo 2
Vamos resolver em
. A equação
tem solução geral
Aplicando as condições de contorno nesta região:
.
implica
.
.
implica
, ou seja
.
Logo, em ,
Logo, em
Passo 3
Agora em
, novamente
gera
Aqui usamos:
.
dá
.
.
dá
.
Subtraindo as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Então, de
vem
Logo, em
,
Resposta
A distribuição de temperatura no estado estacionário é