Resolva o problema de condução de calor não homogêneo.
alpha^2 partial^2 upartial x^2+A e^-beta x=partial upartial t, u(0, t)=u(1, t)=0, t>0, u(x, 0)=f(x), 0<x<1, em que A in R e beta>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de calor não homogênea
alpha^2,partial^2upartial x^2+A,e^-beta x=partial upartial t,
com condições de contorno
u(0,t)=0, u(1,t)=0, t>0,
e condição inicial
u(x,0)=f(x), 0<x<1
O método consiste em escrever
u(x,t)=v(x)+w(x,t),
onde v(x) é uma solução estacionária (independente de t) que anula a fonte e satisfaz as CC homogêneas, e w(x,t) satisfaz então a equação de calor homogênea com CC homogêneas e condição inicial modificada.

Passo 2

Procuramos v(x) tal que
alpha^2,v''(x)+A,e^-beta x=0, v(0)=0,;v(1)=0
Isso dá
v''(x)=-Aalpha^2,e^-beta x
Integramos duas vezes
v'(x)=Aalpha^2,beta,e^-beta x+C1, v(x)=-Aalpha^2,beta^2,e^-beta x+C1,x+C2
Impondo v(0)=0 e v(1)=0 obtemos
C2=Aalpha^2,beta^2, C1=Aalpha^2,beta^2l(e^-beta-1r),
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v(x)=Aalpha^2,beta^2l[,1-e^-beta x+l(e^-beta-1r)xr]

Passo 3

Definimos
w(x,t)=u(x,t)-v(x)
Substituindo na PDE original vemos que w satisfaz
partial wpartial t =alpha^2,partial^2wpartial x^2,
com
w(0,t)=0, w(1,t)=0
e condição inicial
w(x,0)=f(x)-v(x)

Passo 4

Para resolver
wt=alpha^2wxx,;w(0,t)=w(1,t)=0,
usamos separação de variáveis e expansão em senos. A solução geral é
w(x,t) =sumn=1^inftyBn,e^-alpha^2n^2pi^2t,sin(npi x),
onde os coeficientes vêm da condição inicial:
Bn =2integral0^1l[f(x)-v(x)r]sin(npi x),dx

Passo 5

Voltando a u, temos
u(x,t) =v(x) +sumn=1^inftyBn,e^-alpha^2n^2pi^2t,sin(npi x),
com v(x) e Bn dados acima.

Resposta

boxed u(x,t) =Aalpha^2,beta^2l[1-e^-beta x+(e^-beta-1)xr] +sumn=1^infty gl( 2integral0^1l[f(s)-v(s)r]sin(npi s),ds gr) e^-alpha^2n^2pi^2t,sin(npi x),
onde
v(s)=Aalpha^2,beta^2l[1-e^-beta s+(e^-beta-1)sr]

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