Resolva o problema de condução de calor não homogêneo.
, em que
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de calor não homogênea
com condições de contorno
e condição inicial
O método consiste em escrever
onde
é uma solução estacionária (independente de
) que anula a fonte e satisfaz as CC homogêneas, e
satisfaz então a equação de calor homogênea com CC homogêneas e condição inicial modificada.
Passo 2
Procuramos
tal que
Isso dá
Integramos duas vezes
Impondo
e
obtemos
logo
Passo 3
Definimos
Substituindo na PDE original vemos que
satisfaz
com
e condição inicial
Passo 4
Para resolver
usamos separação de variáveis e expansão em senos. A solução geral é
onde os coeficientes vêm da condição inicial:
Passo 5
Voltando a
, temos
com
e
dados acima.
Resposta
onde