Encontre uma solução explícita para cada PVI das EDO’s separáveis abaixo, indicando um intervalo aberto I (contendo x0, obviamente), para o qual a solução é válida (lembre do Teorema de Picard - Existência e unicidade de soluções):
y^2(1-x^2)^1 / 2 d yd x=arcsen x, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução explícita do PVI para a EDO separável
y^2raiz1-x^2;dydx=arcsin x, y(0)=1,
ou seja, o conteúdo é EDOs separáveis e usaremos o Teorema de Picard para garantir existência e unicidade numa vizinhança de x0=0.

Passo 2

Reescrevemos em forma separável:
dydx =arcsin xy^2raiz1-x^2 Longrightarrow y^2,dy=arcsin xraiz1-x^2,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral y^2,dy =integral arcsin xraiz1-x^2,dx
No lado esquerdo
integral y^2,dy=y^33
No lado direito fazemos a substituição u=arcsin x, logo du=dx/raiz1-x^2, e
integral u,du=u^22 ;Longrightarrow; integral arcsin xraiz1-x^2,dx =(arcsin x)^22
Assim obtemos
y^33=(arcsin x)^22+C

Passo 4

Multiplicando por 3 e definindo C'=3C
y^3=32(arcsin x)^2+C'
Como y(0)=1 e arcsin0=0, então 1^3=C', de onde
y^3=1+32(arcsin x)^2 Longrightarrow y(x)=l(1+tfrac32(arcsin x)^2r)^!1/3

Passo 5

Pela forma f(x,y)=arcsin x/(y^2raiz1-x^2), que é contínua e Lipschitz em y enquanto yneq0 e lvert xrvert<1, o Teorema de Picard garante existência e unicidade numa vizinhança de x0=0. Podemos tomar por exemplo o intervalo aberto
I=(-1,1)

Resposta

y(x)=l(1+tfrac32(arcsin x)^2r)^!1/3, xin(-1,1)

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