Encontre a solucao do problema de valor inicial
16 y^prime prime-8 y^prime+145 y=0, y(0)=-2, y^prime(0)=1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
16 y'' - 8 y' + 145 y = 0
com as condições iniciais:
y(0) = -2 e y'(0) = 1
O conteúdo envolvido aqui é a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma padrão:
16 y'' - 8 y' + 145 y = 0
Aqui, y'' representa a segunda derivada de y em relação a t , e y' a primeira derivada.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o método dos coeficientes constantes, que envolve encontrar a equação característica associada. A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem:
a y'' + b y' + c y = 0
é dada por:
a r^2 + b r + c = 0
No nosso caso, a = 16 , b = -8 e c = 145 . Então, a equação característica fica:
16 r^2 - 8 r + 145 = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
r = -(-8) pm raiz(-8)^2 - 4 cdot 16 cdot 1452 cdot 16
r = 8 pm raiz64 - 928032
r = 8 pm raiz-921632

Passo 5

Observamos que o discriminante De<a = 64 - 9280 = -9216 é negativo, o que indica que as raízes são complexas. Vamos simplificar:
raiz-9216 = raiz9216 cdot i = 96i
Então, as raízes são:
r = 8 pm 96i32 = 832 pm 96i32 = 14 pm 3i

Passo 6

Com as raízes da forma alpha pm beta i , a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) )
No nosso caso, alpha = 14 e beta = 3 . Então, a solução geral é:
y(t) = e^14 t ( C1 cos(3t) + C2 sin(3t) )

Passo 7

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de C1 e C2 .
Primeira condição: y(0) = -2
Substituindo t = 0 na solução geral:
-2 = e^0 ( C1 cos(0) + C2 sin(0) )
-2 = 1 cdot (C1 cdot 1 + C2 cdot 0)
-2 = C1
Portanto, C1 = -2 .

Passo 8

Segunda condição: y'(0) = 1
Primeiro, vamos calcular a derivada da solução geral:
y(t) = e^14 t ( -2 cos(3t) + C2 sin(3t) )
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
y'(t) = e^14 t ( 14 (-2 cos(3t) + C2 sin(3t)) ) + e^14 t ( 6 sin(3t) + 3 C2 cos(3t) )
Simplificando:
y'(t) = e^14 t ( -12 cos(3t) + C24 sin(3t) + 6 sin(3t) + 3 C2 cos(3t) )
y'(t) = e^14 t ( (3 C2 - 12) cos(3t) + (C24 + 6) sin(3t) )
Agora, substituímos t = 0 :
1 = e^0 ( (3 C2 - 12) cos(0) + (C24 + 6) sin(0) )
1 = 1 cdot (3 C2 - 12) + 0
1 = 3 C2 - 12
Resolvendo para C2 :
3 C2 = 1 + 12 = 32
C2 = 32 div 3 = 12

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = e^t4 ( -2 cos(3t) + 12 sin(3t) )

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