Encontre a solucao do problema de valor inicial
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
O conteúdo envolvido aqui é a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma padrão:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação a
, e
a primeira derivada.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o método dos coeficientes constantes, que envolve encontrar a equação característica associada. A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem:
é dada por:
No nosso caso,
,
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Passo 5
Observamos que o discriminante
é negativo, o que indica que as raízes são complexas. Vamos simplificar:
Então, as raízes são:
Passo 6
Com as raízes da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso,
e
. Então, a solução geral é:
Passo 7
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeira condição:
Substituindo
na solução geral:
Portanto,
.
Passo 8
Segunda condição:
Primeiro, vamos calcular a derivada da solução geral:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Agora, substituímos
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: