Encontre a solucao do problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A gente vai precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Basicamente, vamos encontrar uma solução geral para a equação e depois ajustar essa solução para atender às condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Para resolver esse tipo de equação, a gente assume que a solução tem a forma de uma função exponencial, ou seja, $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo $ y = e^{rt} $ na equação diferencial, vamos encontrar a equação característica:
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, podemos dividir ambos os lados por $ e^{rt} $, ficando com:
Essa é a nossa equação característica. Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $.
Passo 4
Para resolver a equação quadrática $ r^2 - r + 0,25 = 0 $, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = 0,25
\Delta $):
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla:
Passo 5
Com uma raiz dupla $ r = \frac{1}{2} $, a solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais fornecidas.
Passo 6
Vamos usar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, a condição $ y(0) = 2 $:
Então, $ C_1 = 2 $.
Agora, vamos derivar $ y(t) $ para usar a condição $ y’(0) = \frac{1}{3} $:
Avaliando em $ t = 0 $:
Sabemos que $ y’(0) = \frac{1}{3} $, então:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: