Encontre a solucao do problema de valor inicial
y^prime prime-y^prime+0,25 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=1 / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A gente vai precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Basicamente, vamos encontrar uma solução geral para a equação e depois ajustar essa solução para atender às condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
y'' - y' + 0,25, y = 0
Para resolver esse tipo de equação, a gente assume que a solução tem a forma de uma função exponencial, ou seja, $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo $ y = e^{rt} $ na equação diferencial, vamos encontrar a equação característica:
y = e^rt
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, podemos dividir ambos os lados por $ e^{rt} $, ficando com:
r^2 e^rt - r e^rt + 0,25, e^rt = 0
Essa é a nossa equação característica. Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $.

Passo 4

Para resolver a equação quadrática $ r^2 - r + 0,25 = 0 $, usamos a fórmula de Bhaskara:
r^2 - r + 0,25 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = 0,25 r = -b pm raizb^2 - 4ac 2a \Delta $):
a = 1
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla:
b = -1

Passo 5

Com uma raiz dupla $ r = \frac{1}{2} $, a solução geral da equação diferencial é:
r = 12
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais fornecidas.

Passo 6

Vamos usar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, a condição $ y(0) = 2 $:
C1
Então, $ C_1 = 2 $.
Agora, vamos derivar $ y(t) $ para usar a condição $ y’(0) = \frac{1}{3} $:
C2
Avaliando em $ t = 0 $:
y(0) = 2
Sabemos que $ y’(0) = \frac{1}{3} $, então:
y(0) = (C1 + C2 times 0) e^0 = C1 = 2

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = (2 - 23, t) e^0,5, t

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