Encontre uma solucao particular de
y^prime prime-3 y^prime-4 y=3 e^2 t+2 sin (t)-8 e^t cos (2 t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - 3 y' - 4 y = 3 e^2 t + 2 sin(t) - 8 e^t cos(2 t)
Nosso objetivo é encontrar uma solução particular para essa equação. Isso significa que vamos achar uma função específica yp(t) que, quando substituída na equação, satisfaz a igualdade. Para isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que envolve supor uma forma para yp(t) baseada nos termos do lado direito e ajustar os coeficientes para que a equação seja satisfeita.

Passo 2

Vamos dividir o problema em três partes, já que o lado direito da equação tem três termos diferentes:
  1. 3 e^2 t
  2. 2 sin(t)
  3. -8 e^t cos(2 t)
Vamos encontrar uma solução particular para cada um desses termos e, no final, somar todas elas para obter a solução particular completa.

Passo 3

Para o termo 3 e^2 t :
Sabemos que para termos da forma e^alpha t , a solução particular sugerida é:
yp1(t) = A e^2 t
Onde A é uma constante que precisamos determinar. Vamos calcular as derivadas:
yp1'(t) = 2 A e^2 t
yp1''(t) = 4 A e^2 t
Substituindo na equação original:
4 A e^2 t - 3 (2 A e^2 t) - 4 (A e^2 t) = 3 e^2 t
4A e^2 t - 6A e^2 t - 4A e^2 t = 3 e^2 t
-6A e^2 t = 3 e^2 t
Resolvendo para A :
-6A = 3 implies A = -12
Então,
yp1(t) = -12 e^2 t

Passo 4

Para o termo 2 sin(t) :
Para termos trigonométricos como sin(t) ou cos(t) , assumimos uma solução particular da forma:
yp2(t) = B sin(t) + C cos(t)
Onde B e C são constantes a serem determinadas. Calculamos as derivadas:
yp2'(t) = B cos(t) - C sin(t)
yp2''(t) = -B sin(t) - C cos(t)
Substituindo na equação original:
(-B sin(t) - C cos(t)) - 3 (B cos(t) - C sin(t)) - 4 (B sin(t) + C cos(t)) = 2 sin(t)
- B sin(t) - C cos(t) - 3B cos(t) + 3C sin(t) - 4B sin(t) - 4C cos(t) = 2 sin(t)
(-B + 3C - 4B) sin(t) + (-C - 3B - 4C) cos(t) = 2 sin(t)
(-5B + 3C) sin(t) + (-3B -5C) cos(t) = 2 sin(t) + 0 cos(t)
Agora, igualamos os coeficientes:
-5B + 3C = 2 (1)
-3B -5C = 0 (2)
Resolvendo o sistema:
Da equação (2):
-3B -5C = 0 implies 3B = -5C implies B = -53 C
Substituindo na equação (1):
-5 (-53 C ) + 3C = 2
253 C + 3C = 2
253 C + 93 C = 2
343 C = 2 implies C = 2 cdot 334 = 634 = 317
Então,
B = -53 cdot 317 = -517
Portanto,
yp2(t) = -517 sin(t) + 317 cos(t)

Passo 5

Para o termo -8 e^t cos(2 t) :
Este termo é um pouco mais complexo porque envolve um produto de uma exponencial e uma função trigonométrica. Nesse caso, usamos uma solução particular da forma:
yp3(t) = e^t ( D cos(2 t) + E sin(2 t) )
Onde D e E são constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
Primeira derivada usando a regra do produto:
yp3'(t) = e^t (D cos(2 t) + E sin(2 t)) + e^t (-2 D sin(2 t) + 2 E cos(2 t))
= e^t [ (D cos(2 t) + E sin(2 t)) + (-2 D sin(2 t) + 2 E cos(2 t)) ]
= e^t [ (D + 2 E) cos(2 t) + (E - 2 D) sin(2 t) ]
Segunda derivada:
yp3''(t) = e^t [ (D + 2 E) cos(2 t) + (E - 2 D) sin(2 t) ] + e^t [ -2 (D + 2 E) sin(2 t) + 2 (E - 2 D) cos(2 t) ]
= e^t [ (D + 2 E) cos(2 t) + (E - 2 D) sin(2 t) - 2 (D + 2 E) sin(2 t) + 2 (E - 2 D) cos(2 t) ]
= e^t [ (D + 2 E + 2 E - 4 D) cos(2 t) + (E - 2 D - 2 D - 4 E) sin(2 t) ]
= e^t [ (-3 D + 4 E) cos(2 t) + (-4 D -3 E) sin(2 t) ]
Substituindo yp3 , yp3' e yp3'' na equação original:
yp3'' - 3 yp3' - 4 yp3 = -8 e^t cos(2 t)
Substituindo:
e^t [ (-3 D + 4 E) cos(2 t) + (-4 D -3 E) sin(2 t) ] - 3 e^t [ (D + 2 E) cos(2 t) + (E - 2 D) sin(2 t) ] - 4 e^t [ D cos(2 t) + E sin(2 t) ] = -8 e^t cos(2 t)
Vamos simplificar:
e^t [ (-3 D + 4 E) cos(2 t) + (-4 D -3 E) sin(2 t) ] - 3 e^t [ (D + 2 E) cos(2 t) + (E - 2 D) sin(2 t) ] - 4 e^t [ D cos(2 t) + E sin(2 t) ] = -8 e^t cos(2 t)
Agrupando os termos:
e^t [ (-3 D + 4 E -3 D -6 E -4 D) cos(2 t) + (-4 D -3 E -3 E +6 D -4 E) sin(2 t) ] = -8 e^t cos(2 t)
Simplificando os coeficientes:
Para cos(2 t) :
-3 D + 4 E -3 D -6 E -4 D = (-3D -3D -4D) + (4E -6 E) = -10 D -2 E
Para sin(2 t) :
-4 D -3 E -3 E +6 D -4 E = (-4 D +6 D) + (-3 E -3 E -4 E) = 2 D -10 E
Então, a equação fica:
e^t [ (-10 D -2 E) cos(2 t) + (2 D -10 E) sin(2 t) ] = -8 e^t cos(2 t)
Como as funções e^t cos(2 t) e e^t sin(2 t) são linearmente independentes, podemos igualar os coeficientes:
-10 D -2 E = -8 (3)
2 D -10 E = 0 (4)
Resolvendo o sistema:
Da equação (4):
2 D -10 E = 0 implies D = 5 E
Substituindo na equação (3):
-10 (5 E) -2 E = -8
-50 E -2 E = -8
-52 E = -8 implies E = 852 = 213
Então,
D = 5 E = 5 cdot 213 = 1013
Portanto,
yp3(t) = e^t ( 1013 cos(2 t) + 213 sin(2 t) )

Resposta

A solução particular da equação diferencial dada é a soma das soluções particulares encontradas:
yp(t) = -12 e^2 t - 517 sin(t) + 317 cos(t) + e^t ( 1013 cos(2 t) + 213 sin(2 t) )

Exercícios relacionados