Encontre uma solucao particular de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
Nosso objetivo é encontrar uma solução particular para essa equação. Isso significa que vamos achar uma função específica
que, quando substituída na equação, satisfaz a igualdade. Para isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que envolve supor uma forma para
baseada nos termos do lado direito e ajustar os coeficientes para que a equação seja satisfeita.
Passo 2
Vamos dividir o problema em três partes, já que o lado direito da equação tem três termos diferentes:
Vamos encontrar uma solução particular para cada um desses termos e, no final, somar todas elas para obter a solução particular completa.
Passo 3
Para o termo
:
Sabemos que para termos da forma
, a solução particular sugerida é:
Onde
é uma constante que precisamos determinar. Vamos calcular as derivadas:
Substituindo na equação original:
Resolvendo para
:
Então,
Passo 4
Para o termo
:
Para termos trigonométricos como
ou
, assumimos uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a serem determinadas. Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação original:
Agora, igualamos os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Então,
Portanto,
Passo 5
Para o termo
:
Este termo é um pouco mais complexo porque envolve um produto de uma exponencial e uma função trigonométrica. Nesse caso, usamos uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
Primeira derivada usando a regra do produto:
Segunda derivada:
Substituindo
,
e
na equação original:
Substituindo:
Vamos simplificar:
Agrupando os termos:
Simplificando os coeficientes:
Para
:
Para
:
Então, a equação fica:
Como as funções
e
são linearmente independentes, podemos igualar os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da equação (4):
Substituindo na equação (3):
Então,
Portanto,
Resposta
A solução particular da equação diferencial dada é a soma das soluções particulares encontradas: