Encontre uma solução explícita para cada PVI das EDO’s separáveis abaixo, indicando um intervalo aberto I (contendo x0, obviamente), para o qual a solução é válida (lembre do Teorema de Picard - Existência e unicidade de soluções):
x^2 y^prime=y-x y, y(-1)=-1.

Passo 1

O enunciado dá o PVI
x^2y' = y - x,y, y(-1)=-1,
que é uma EDO separável. Vamos usar separação de variáveis, integração e depois impor a condição inicial. Também indicaremos um intervalo aberto contendo x0=-1 onde a função f(x,y)=(1-x)x^-2y é contínua e Lipschitz em y.

Passo 2

Reescrevendo em forma separável:
y' = y - x,yx^2 = l(1x^2-1xr),y
Logo
1y,dydx = 1x^2 - 1x
Isto nos permite separar:
dyy = l(x^-2 - x^-1r),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral l(x^-2 - x^-1r),dx Longrightarrow lnlvert yrvert = -1x - lnlvert xrvert + C
Exponenciando,
lvert yrvert = e^C,e^-1/xlvert xrvert
Definindo K=pm e^C, a solução geral é
y(x) = K,e^-1/xx

Passo 4

Impondo y(-1)=-1:
y(-1)=K,e^-1/(-1)-1 =K,e^1-1=-K,e overset!= -1 Longrightarrow K=1e
Assim a solução particular é
y(x) = 1e,e^-1/xx = e^-1x-1x

Passo 5

Pela existência e unicidade de Picard, como f(x,y)=(1-x)x^-2y é contínua em y e Lipschitz em y sempre que xneq0, podemos escolher qualquer intervalo aberto contendo -1 que não inclua 0. Por exemplo
I = (-infty,0)

Resposta

A solução explícita é
y(x) = e^-l(1 + tfrac1xr)x,
válida em qualquer intervalo aberto que contenha x0=-1 e não contenha 0, por exemplo I=(-infty,0).

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