Encontre uma solução explícita para cada PVI das EDO’s separáveis abaixo, indicando um intervalo aberto
(contendo
, obviamente), para o qual a solução é válida (lembre do Teorema de Picard - Existência e unicidade de soluções):
.
Passo 1
O enunciado dá o PVI
que é uma EDO separável. Vamos usar separação de variáveis, integração e depois impor a condição inicial. Também indicaremos um intervalo aberto contendo
onde a função
é contínua e Lipschitz em
.
Passo 2
Reescrevendo em forma separável:
Logo
Isto nos permite separar:
Passo 3
Integramos ambos os lados:
Exponenciando,
Definindo
, a solução geral é
Passo 4
Impondo
:
Assim a solução particular é
Passo 5
Pela existência e unicidade de Picard, como
é contínua em
e Lipschitz em
sempre que
, podemos escolher qualquer intervalo aberto contendo
que não inclua
. Por exemplo
Resposta
A solução explícita é
válida em qualquer intervalo aberto que contenha
e não contenha
, por exemplo
.