Encontre a solucao geral da equacao diferencial dada
y^prime prime-2 y^prime+y=e^t /(1+t^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação:
y'' - 2y' + y = e^t1 + t^2
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar duas partes da solução:
  1. Solução geral da equação homogênea associada ( y'' - 2y' + y = 0 ).
  2. Solução particular da equação completa.
Vamos seguir esses passos para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
y'' - 2y' + y = 0
Para isso, usamos o método dos coeficientes constantes, que envolve encontrar a equação característica. Substituímos y'' por r^2 , y' por r e y por 1:
r^2 - 2r + 1 = 0
Agora, resolvemos essa equação quadrática:
r^2 - 2r + 1 = 0 implies (r - 1)^2 = 0 implies r = 1
Como temos uma raiz real dupla ( r = 1 com multiplicidade 2), a solução geral da equação homogênea é:
yh = (C1 + C2 t) e^t
Aqui, C1 e C2 são constantes que determinam condições iniciais.

Passo 3

Agora vamos encontrar a solução particular ( yp ) da equação completa:
y'' - 2y' + y = e^t1 + t^2
Para isso, usaremos o método da Variação das Constantes (também conhecido como Variação de Parâmetros). Esse método é útil quando a função do lado direito ( e^t1 + t^2 ) não se encaixa nas formas padrão para os quais o método dos coeficientes constantes funciona.

Passo 4

Primeiro, vamos identificar as soluções da equação homogênea que já encontramos:
y1 = e^t, y2 = t e^t
Agora, assumimos que a solução particular yp pode ser escrita como:
yp = u1(t) y1 + u2(t) y2
Onde u1(t) e u2(t) são funções que vamos determinar.
Para isso, precisamos calcular as derivadas de yp :
yp' = u1' y1 + u1 y1' + u2' y2 + u2 y2'
yp'' = u1'' y1 + 2 u1' y1' + u1 y1'' + u2'' y2 + 2 u2' y2' + u2 y2''
Mas para simplificar, usamos a condição:
u1' y1 + u2' y2 = 0
E a equação resultante para yp :
u1' y1' + u2' y2' = e^t1 + t^2
Resolvendo esse sistema, encontramos u1' e u2' , e então integramos para achar u1(t) e u2(t) . Devido à complexidade da integral, podemos expressar a solução particular de forma integral:
yp = e^t integral t e^t1 + t^2 dt - t e^t integral e^t1 + t^2 dt
Essas integrais podem não ter uma solução em termos de funções elementares, então expressamos a solução particular dessa forma.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = (C1 + C2 t) e^t + e^t integral t e^t1 + t^2 dt - t e^t integral e^t1 + t^2 dt
Onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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