Encontre a solucao geral da equacao diferencial dada
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação:
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar duas partes da solução:
- Solução geral da equação homogênea associada (
). - Solução particular da equação completa.
Vamos seguir esses passos para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, usamos o método dos coeficientes constantes, que envolve encontrar a equação característica. Substituímos
por
,
por
e
por 1:
Agora, resolvemos essa equação quadrática:
Como temos uma raiz real dupla (
com multiplicidade 2), a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que determinam condições iniciais.
Passo 3
Agora vamos encontrar a solução particular (
) da equação completa:
Para isso, usaremos o método da Variação das Constantes (também conhecido como Variação de Parâmetros). Esse método é útil quando a função do lado direito (
) não se encaixa nas formas padrão para os quais o método dos coeficientes constantes funciona.
Passo 4
Primeiro, vamos identificar as soluções da equação homogênea que já encontramos:
Agora, assumimos que a solução particular
pode ser escrita como:
Onde
e
são funções que vamos determinar.
Para isso, precisamos calcular as derivadas de
:
Mas para simplificar, usamos a condição:
E a equação resultante para
:
Resolvendo esse sistema, encontramos
e
, e então integramos para achar
e
. Devido à complexidade da integral, podemos expressar a solução particular de forma integral:
Essas integrais podem não ter uma solução em termos de funções elementares, então expressamos a solução particular dessa forma.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.