Encontre uma solucao particular de
y^prime prime-3 y^prime-4 y=2 e^-t

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem aqui:
y^prime prime - 3 y^prime - 4 y = 2 e^-t
O que precisamos fazer é encontrar uma solução particular para essa equação. Basicamente, isso significa achar uma função específica que, quando colocada na equação, satisfaça toda a igualdade. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica bacana para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação tem uma forma específica, como exponenciais, senos, cossenos, ou combinações deles.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação homogênea associada, que é:
y^prime prime - 3 y^prime - 4 y = 0
Resolver essa equação nos ajuda a entender a estrutura das soluções gerais e evita que a nossa solução particular entre em conflito com a solução da equação homogênea.
Para resolver essa equação homogênea, assumimos que a solução tem a forma y = e^rt , onde r é uma constante que precisamos determinar. Substituindo na equação, teremos:
r^2 e^rt - 3 r e^rt - 4 e^rt = 0
Dividindo tudo por e^rt (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
r^2 - 3r - 4 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm raiz252 = 3 pm 52
Então, as raízes são r = 4 e r = -1 . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^4t + C2 e^-t

Passo 3

Agora, vamos para a solução particular, yp . Como o lado direito da equação é 2 e^-t , a gente tenta supor uma solução particular da forma yp = A e^-t , onde A é uma constante que precisamos encontrar.
Mas atenção! Observamos que e^-t já faz parte da solução homogênea ( yh ). Isso significa que nossa suposição inicial está na mesma forma da solução homogênea, então precisamos multiplicar por t para evitar a duplicação. Assim, vamos tentar:
yp = A t e^-t
Vamos calcular as derivadas de yp :
Primeira derivada:
yp' = A e^-t + A t (-e^-t) = A e^-t - A t e^-t
Segunda derivada:
yp'' = -A e^-t - A e^-t + A t e^-t = -2A e^-t + A t e^-t
Agora, substituímos yp , yp' e yp'' na equação original:
(-2A e^-t + A t e^-t) - 3 (A e^-t - A t e^-t) - 4 (A t e^-t) = 2 e^-t
Vamos simplificar:
-2A e^-t + A t e^-t - 3A e^-t + 3A t e^-t - 4A t e^-t = 2 e^-t
Agrupando termos semelhantes:
(-2A - 3A) e^-t + (A + 3A - 4A) t e^-t = 2 e^-t
Isso simplifica para:
-5A e^-t + 0 cdot t e^-t = 2 e^-t
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para e^-t :
-5A = 2 implies A = -25

Resposta

A solução particular é:
yp = -25 t e^-t

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