Encontre uma solucao particular de
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem aqui:
O que precisamos fazer é encontrar uma solução particular para essa equação. Basicamente, isso significa achar uma função específica que, quando colocada na equação, satisfaça toda a igualdade. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica bacana para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação tem uma forma específica, como exponenciais, senos, cossenos, ou combinações deles.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação homogênea associada, que é:
Resolver essa equação nos ajuda a entender a estrutura das soluções gerais e evita que a nossa solução particular entre em conflito com a solução da equação homogênea.
Para resolver essa equação homogênea, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar. Substituindo na equação, teremos:
Dividindo tudo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são
e
. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos para a solução particular,
. Como o lado direito da equação é
, a gente tenta supor uma solução particular da forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Mas atenção! Observamos que
já faz parte da solução homogênea (
). Isso significa que nossa suposição inicial está na mesma forma da solução homogênea, então precisamos multiplicar por
para evitar a duplicação. Assim, vamos tentar:
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Vamos simplificar:
Agrupando termos semelhantes:
Isso simplifica para:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para
:
Resposta
A solução particular é: