Encontre uma solução singular para a EDO y^prime=x raiz1-y^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução singular da equação diferencial y'=xraiz1-y^2. O conteúdo é equações de variáveis separáveis e o conceito de solução singular via envelope da família de soluções gerais.

Passo 2

Observamos que a ODE é separável. Podemos escrever
dyraiz1-y^2 = x,dx
e então integrar os dois lados.

Passo 3

Ao integrar, usamos que integral dy/raiz1-y^2=arcsin(y) e integral x,dx = x^2/2. Assim,
arcsin(y) = x^22 + C o que nos dá a solução geral
y = sinl(tfracx^22+Cr).

Passo 4

Para achar a solução singular, tratamos C como parâmetro e construímos o envelope da família. Impomos
partialpartial Cl[sinl(tfracx^22+Cr)r] = 0 Longrightarrow cosl(tfracx^22+Cr)=0.
Isso significa
tfracx^22+C = pi2 + kpi, kin Z

Passo 5

Substituindo na forma geral, obtemos sempre
y = sinl(pi2 + kpir) = pm1

Passo 6

Verificamos que y=1 e y=-1 satisfazem a ODE (pois a derivada é zero e o lado direito também). Portanto, as soluções singulares são as retas constantes y=1 e y=-1.

Resposta

As soluções singulares são: y(x)=1 e y(x)=-1.

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