Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial:
(x^2+1) cos y d yd x=-2 x sin y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial\r
l(x^2+1r)cos y,dydx=-2xsin y\r
Este é um caso de equação de variáveis separáveis: vamos escrever dydx isolado e separar os termos em y de um lado e os termos em x do outro.

Passo 2

Isolando dydx obtemos\r
dydx=-2xsin y(x^2+1)cos y=-2xx^2+1,tan y

Passo 3

Agora separamos variáveis, trazendo tudo em y para o lado esquerdo e tudo em x para o lado direito:\r
cos ysin y,dy=-2xx^2+1,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:\r
integral cos ysin y,dy = integral -2xx^2+1,dx \r
No lado esquerdo temos\r
integral cos ysin y,dy =lnl|sin yr| \r
e no direito\r
integral -2xx^2+1,dx =-lnl(x^2+1r)+C

Passo 5

Igualando os resultados:\r
lnl|sin yr| =-lnl(x^2+1r)+C Longrightarrow lnl|sin y,(x^2+1)r|=C \r
Exponentiando, obtemos a forma implícita da solução:\r
l(x^2+1r)sin y=C', \r
onde C' é constante arbitrária (podemos permitir C'inR).

Resposta

boxed,(x^2+1),sin y=C,, \r
com C constante de integração.

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