Encontre uma solução explícita para o problema de valor inicial dado.
x^2 d yd x=y-x y, y(-1)=-1 y=e^-(1+1x)x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x^2,dydx=y - x,y
sujeita à condição inicial y(-1)=-1.
O conteúdo aqui é separação de variáveis, pois podemos escrever a equação na forma dydx=g(x),h(y).

Passo 2

Começamos isolando dydx e separando as variáveis y e x:
x^2,dydx=y(1 - x) Longrightarrow dydx=1-xx^2,y
Longrightarrow 1y,dy=1-xx^2,dx =l(x^-2-x^-1r),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral 1y,dy =integrall(x^-2-x^-1r),dx Longrightarrow lnl|yr| =integral x^-2,dx - integral x^-1,dx =-x^-1-lnl|xr|+C

Passo 4

Exponenciando para obter y:
lnl|yr| =-1x-lnl|xr|+C Longrightarrow l|yr| =e^C,e^-1/x,e^-ln|x| =tildeA,e^-1/x|x|
Como a solução deve valer em torno de x=-1, absorvemos o sinal em uma constante A real e escrevemos
y=A,e^-1/xx

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(-1)=-1:
-1 =A,e^-1/(-1)-1 =A,e^1-1 =-A,e Longrightarrow A=1e

Resposta

boxed y(x)=e^-l(1+tfrac1xr)x

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