Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias e determine se a solução é explícita ou implícita:
\left(1-\operatorname{tg}^{2}(\theta)\right) d r+4 r \operatorname{tg}(\theta) d \theta=0;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(1-\tan^{2}(\theta)\bigr)\,dr \;+\;4\,r\,\tan(\theta)\,d\theta=0.
Trata-se de uma EDO de primeira ordem que podemos resolver por separação de variáveis e usando identidades trigonométricas.

Passo 2

Reescrevendo em forma separável, isolamos dr sobre r de um lado e o resto em \theta do outro:
\frac{dr}{r} \;=\; -\;\frac{4\,\tan(\theta)}{1-\tan^{2}(\theta)}\,d\theta.

Passo 3

Para simplificar o integrando, usamos
1-\tan^{2}(\theta) =\frac{\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta)}{\cos^{2}(\theta)} =\frac{\cos(2\theta)}{\cos^{2}(\theta)},
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\frac{\tan(\theta)}{1-\tan^{2}(\theta)} =\frac{\sin(\theta)/\cos(\theta)}{\cos(2\theta)/\cos^{2}(\theta)} =\frac{\sin(\theta)\cos(\theta)}{\cos(2\theta)} =\frac{1}{2}\,\frac{\sin(2\theta)}{\cos(2\theta)} =\frac{1}{2}\tan(2\theta).
Dessa forma
\frac{4\,\tan(\theta)}{1-\tan^{2}(\theta)} =2\,\tan(2\theta).

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dr}{r} = -\int 2\,\tan(2\theta)\,d\theta \quad\Longrightarrow\quad \ln\lvert r\rvert = -2\int \tan(2\theta)\,d\theta.
Como \displaystyle\int \tan u\,du=-\ln\lvert\cos u\rvert, vem
\ln\lvert r\rvert = -2\Bigl(-\tfrac12\ln\lvert\cos(2\theta)\rvert\Bigr)+C = \ln\lvert\cos(2\theta)\rvert + C.

Passo 5

Exponenciando, obtemos
\lvert r\rvert = e^{C}\,\lvert\cos(2\theta)\rvert.
Chamando K=\pm e^{C}, a solução geral fica
r(\theta)=K\cos(2\theta),
que é uma forma explícita.

Resposta

A solução geral é
r = K\cos(2\theta),
e ela está apresentada de forma explícita.

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