Valores de tensão e as correspondentes correntes foram tabulados para dois elementos de circuito. Faça os cálculos que se pedem:
Elemento #1
Tensão(V) Corrente (A)
-4 -2
-3 -3
0 0
12 2
32 4
60 6
Elemento #2
Tensão(V) Corrente (A)
-80 -5
-32 -2
0 0
48 3
96 6
(a) Determine se os elementos de circuito são lineares a partir da respectiva equação de i em função de v para o Elemento #1 e equação de v em função de i para o Elemento #2. Faça as provas dos princípios da superposição e da homogeneidade.
(b) A partir do modelo obtido em (a), qual será o valor de corrente no Elemento \# 1 quando sua tensão for 48 V ?
(c) A partir do modelo obtido em (a), qual será o valor de tensão no Elemento #2 quando sua corrente for 3 A ?

Passo 1

O enunciado nos dá duas tabelas de características tensão–corrente de dois elementos de circuito. No Elemento #1 temos pares (v,i) = {(-4,−2), (-3,−3), (0,0), (12,2), (32,4), (60,6)} e no Elemento #2 temos (v,i) = {(-80,−5), (-32,−2), (0,0), (48,3), (96,6)}. O conteúdo é testar linearidade (superposição e homogeneidade), achar a função linear i(v) ou v(i) quando existir e, a partir desse modelo, prever valores em pontos não tabelados.

Passo 2

Verificando o Elemento #1: se fosse linear, deveríamos ter
  1. homogeneidade: i(a\,v)=a\,i(v) para todo escalar a, e
  2. superposição: i(v_1+v_2)=i(v_1)+i(v_2).
    Basta checar que a razão i/v não é constante:
\frac{-2}{-4}=0{,}5,\quad \frac{-3}{-3}=1,\quad \frac{2}{12}=0{,}1667,\quad \frac{4}{32}=0{,}125,\quad \frac{6}{60}=0{,}1,
logo não há um único coeficiente de proporcionalidade. Qualquer teste de superposição ou homogeneidade falha (por exemplo, não existe escalar a tal que i(12)\cdot a = i(60) com i(12)=2 e i(60)=6). Concluímos que o Elemento #1 não é linear.

Passo 3

Verificando o Elemento #2: buscamos uma relação do tipo v = k\,i + b. Como passa por (0,0), temos b=0 e
k = \frac{v}{i} = \frac{48}{3} = \frac{96}{6} = \frac{-32}{-2} = \frac{-80}{-5} = 16.
Logo
v(i)=16\,i.
Testamos rapidamente superposição e homogeneidade:
v(i_1+i_2)=16\,(i_1+i_2)=16\,i_1+16\,i_2 = v(i_1)+v(i_2),
v(a\,i)=16\,(a\,i)=a\,(16\,i)=a\,v(i).
Tudo satisfaz, então o Elemento #2 é linear com v=16\,i.

Passo 4

(b) Como o Elemento #1 não admite modelo linear i(v), não há uma única expressão linear para extrapolar a v=48\\ \text{V}. Logo não é possível determinar por superposição/homogeneidade um valor de i em 48\\ \text{V}.

Passo 5

(c) A partir de v(i)=16\,i no Elemento #2 e para i=3\\ \text{A} temos
v = 16 \times 3 = 48\\ \text{V}.

Resposta

(a) Elemento #1 não é linear; Elemento #2 é linear com v=16\,i.
(b) Não se pode determinar i em 48\\ \text{V} para o Elemento #1, pois não há modelo linear.
(c) Para o Elemento #2, v(3\\ \text{A})=48\\ \text{V}.

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