Encontre uma solução geral: y^prime prime-8 y^prime+7 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 8y' + 7y = 0
Para resolver, vamos usar o método da equação característica, que transforma a ODE em um polinômio em r.

Passo 2

Formamos a equação característica trocando y'' por r^2, y' por r e y por 1, obtendo
r^2 - 8r + 7 = 0

Passo 3

Resolvemos r^2 - 8r + 7 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
r = 8 pm raiz(-8)^2 - 4cdot1cdot72cdot1 = 8 pm raiz64 - 282 = 8 pm raiz362 = 8 pm 62
Logo, os dois raízes são
r1 = 8+62 = 7, r2 = 8-62 = 1

Passo 4

Como r1 e r2 são raízes reais distintas, a forma geral da solução é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^7x + C2 e^x

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