Nos Exercícios de 13 a 18, ache o momento de inércia da lâmina homogênea dada, em torno do eixo indicado, sendo k kg-m^2 a densidade de massa por unidade de área e a distância medida em metros.
A lâmina na forma da região limitada por 4 y=3 x, x=4 e pelo eixo x; em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia da lâmina homogênea (densidade superficial k) da região triangular limitada por 4y=3x, x=4 e o eixo x, em torno do próprio eixo x. O conteúdo utilizado será a definição de momento de inércia de uma lamina plana:
Ix = integral duplaR y^2,dm,
com dm = k,dA.

Passo 2

Descrevemos a região R em coordenadas cartesianas. Da reta 4y=3x vem y=tfrac34x. Logo, para x de 0 a 4 e y de 0 a tfrac34x, temos
dm = k,dA = k,dy,dx e Ix = integralx=0^4integraly=0^tfrac34x y^2,k,dy,dx

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integral0^tfrac34x y^2,dy = [y^33]0^tfrac34x = 13l(34xr)^3 = 27192,x^3 = 964,x^3
Portanto
Ix = k integral0^4 964,x^3,dx

Passo 4

Agora integramos em x:
Ix = 9k64 integral0^4 x^3,dx = 9k64,l[x^44r]0^4 = 9k64,cdot2564 = 9k64cdot64 =9k

Resposta

O momento de inércia da lâmina em torno do eixo x é
Ix = 9k

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