Mostre que o teste da segunda derivada não fornece informações sobre os pontos críticos de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o teste da segunda derivada não dá informações sobre os pontos críticos da função
. Isso está relacionado com o cálculo de derivadas parciais e com o teste para classificar pontos críticos em funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos acontecem onde as derivadas parciais em relação a
e
são zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 3
Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para tentar classificar esse ponto crítico. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais e formar o determinante chamado de discriminante
.
Calculando as segundas derivadas:
No ponto crítico
, essas derivadas ficam:
O discriminante
é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 4
No teste da segunda derivada, se o discriminante
e
, temos um mínimo local; se
e
, temos um máximo local; e se
, é um ponto de sela. Mas se
, o teste é inconclusivo, ou seja, não dá informações sobre a natureza do ponto crítico.
Passo 5
No nosso caso, o discriminante
. Isso significa que o teste da segunda derivada não conseguiu nos dizer se o ponto
é um mínimo, máximo ou ponto de sela.
Resposta
O teste da segunda derivada não consegue classificar o ponto crítico de
no ponto
.