Mostre que o teste da segunda derivada não fornece informações sobre os pontos críticos de f(x, y)=x^4+y^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o teste da segunda derivada não dá informações sobre os pontos críticos da função f(x, y) = x^4 + y^4 . Isso está relacionado com o cálculo de derivadas parciais e com o teste para classificar pontos críticos em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos acontecem onde as derivadas parciais em relação a x e y são zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
fx = partial fpartial x = 4x^3
fy = partial fpartial y = 4y^3
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
4x^3 = 0 Rightarrow x = 0
4y^3 = 0 Rightarrow y = 0
Então, o único ponto crítico é (0, 0) .

Passo 3

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para tentar classificar esse ponto crítico. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais e formar o determinante chamado de discriminante D .
Calculando as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 12x^2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 12y^2
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 0
No ponto crítico (0, 0) , essas derivadas ficam:
fxx(0,0) = 0
fyy(0,0) = 0
fxy(0,0) = 0
O discriminante D é dado por:
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2
Substituindo os valores:
D = 0 cdot 0 - 0^2 = 0

Passo 4

No teste da segunda derivada, se o discriminante D > 0 e fxx > 0 , temos um mínimo local; se D > 0 e fxx < 0 , temos um máximo local; e se D < 0 , é um ponto de sela. Mas se D = 0 , o teste é inconclusivo, ou seja, não dá informações sobre a natureza do ponto crítico.

Passo 5

No nosso caso, o discriminante D = 0 . Isso significa que o teste da segunda derivada não conseguiu nos dizer se o ponto (0, 0) é um mínimo, máximo ou ponto de sela.

Resposta

O teste da segunda derivada não consegue classificar o ponto crítico de f(x, y) = x^4 + y^4 no ponto (0, 0) .

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