Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial. \left\{\begin{array}{l}x y^{\prime}+2 y=x^{2}-x+1, x>0, \\\ y(1)=\frac{1}{2} .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial dado por:\n
Informações fornecidas (já as peguei do enunciado):\n
A equação diferencial é de primeira ordem e envolve y' e y.\n
A incógnita é a função y(x) definida para x>0.\n
Condição inicial: y(1)=\dfrac{1}{2}.\n
O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação para x>0 e a condição inicial dada.]
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo a equação por x (valido porque x>0) obtemos:\n
y'(x)+\frac{2}{x}\,y(x)=x-1+\frac{1}{x}.
Aqui identifiquei as funções padrão:\n
P(x)=\frac{2}{x},\qquad Q(x)=x-1+\frac{1}{x}.
Explicação curta e útil: uma equação linear de primeira ordem tem a forma \,y'+P(x)y=Q(x). A técnica clássica para resolver é multiplicar por um fator integrante \mu(x) que transforma o lado esquerdo na derivada de \mu(x)y(x).
Passo 3
Determinar o fator integrante \mu(x). A fórmula do fator integrante é:\n
Como x>0, \exp(2\ln x)=(\exp(\ln x))^{2}=x^{2}. Portanto:\n
\mu(x)=x^{2}.
Breve aula: o fator integrante é escolhido assim porque ao multiplicar a equação original por \mu o lado esquerdo se transforma em \dfrac{d}{dx}(\mu y). Isso facilita integrar dos dois lados.
Passo 4
Multiplicar a equação standard por \mu(x)=x^{2}. Fazendo isso na forma y'+\dfrac{2}{x}y= x-1+\dfrac{1}{x} obtemos:\n
Comentário didático: essa é a forma padrão — uma parte polinomial e um termo com a constante multiplicado por x^{-2}. Em provas, escrever a solução geral com a constante C é necessário antes de aplicar a condição inicial.
Passo 7
Aplicar a condição inicial y(1)=\dfrac{1}{2} para determinar C. Substituindo x=1 em \displaystyle y(x)=\frac{x^{2}}{4}-\frac{x}{3}+\frac{1}{2}+C\,x^{-2} obtenho:\n