Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
\left\{\begin{array}{l}x y^{\prime}+2 y=x^{2}-x+1, x>0, \\\ y(1)=\frac{1}{2} .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial dado por:\n
\begin{cases} x\,y'(x)+2\,y(x)=x^{2}-x+1,\quad x>0,\\[4pt] y(1)=\dfrac{1}{2}. \end{cases}
Informações fornecidas (já as peguei do enunciado):\n
  • A equação diferencial é de primeira ordem e envolve y' e y.\n
  • A incógnita é a função y(x) definida para x>0.\n
  • Condição inicial: y(1)=\dfrac{1}{2}.\n
    O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação para x>0 e a condição inicial dada.]

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo a equação por x (valido porque x>0) obtemos:\n
y'(x)+\frac{2}{x}\,y(x)=x-1+\frac{1}{x}.
Aqui identifiquei as funções padrão:\n
P(x)=\frac{2}{x},\qquad Q(x)=x-1+\frac{1}{x}.
Explicação curta e útil: uma equação linear de primeira ordem tem a forma \,y'+P(x)y=Q(x). A técnica clássica para resolver é multiplicar por um fator integrante \mu(x) que transforma o lado esquerdo na derivada de \mu(x)y(x).

Passo 3

Determinar o fator integrante \mu(x). A fórmula do fator integrante é:\n
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Substituindo P(x)=\dfrac{2}{x}:\n
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{2}{x}\,dx\right)=\exp(2\ln x).
Como x>0, \exp(2\ln x)=(\exp(\ln x))^{2}=x^{2}. Portanto:\n
\mu(x)=x^{2}.
Breve aula: o fator integrante é escolhido assim porque ao multiplicar a equação original por \mu o lado esquerdo se transforma em \dfrac{d}{dx}(\mu y). Isso facilita integrar dos dois lados.

Passo 4

Multiplicar a equação standard por \mu(x)=x^{2}. Fazendo isso na forma y'+\dfrac{2}{x}y= x-1+\dfrac{1}{x} obtemos:\n
x^{2}y'(x)+2x\,y(x)=x^{2}\left(x-1+\frac{1}{x}\right).
Simplificando o lado direito:\n
x^{2}y'(x)+2x\,y(x)=x^{3}-x^{2}+x.
Agora observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto (x^{2}y(x)). Ou seja:\n
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y(x)\big)=x^{3}-x^{2}+x.
Explicação: usar \frac{d}{dx}(\mu y)=\mu y'+\mu' y. Aqui \mu'=2x, então \mu y'+\mu' y = x^{2}y'+2x y.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x. Temos\n
\int \frac{d}{dx}\big(x^{2}y(x)\big)\,dx = \int\big(x^{3}-x^{2}+x\big)\,dx.
O lado esquerdo dá simplesmente x^{2}y(x). No lado direito calcule termo a termo as primitivas (aqui uma pequena revisão de antiderivadas):\n
  • \displaystyle\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}, porque a regra é \int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.\n
  • \displaystyle\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.\n
  • \displaystyle\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.\n
    Portanto\n
x^{2}y(x)=\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Expressar a solução geral isolando y(x). Dividindo por x^{2} (novamente x>0 permite isso) obtemos a solução geral com a constante C:\n
y(x)=\frac{1}{x^{2}}\left(\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+C\right) =\frac{x^{2}}{4}-\frac{x}{3}+\frac{1}{2}+C\,x^{-2}.
Comentário didático: essa é a forma padrão — uma parte polinomial e um termo com a constante multiplicado por x^{-2}. Em provas, escrever a solução geral com a constante C é necessário antes de aplicar a condição inicial.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(1)=\dfrac{1}{2} para determinar C. Substituindo x=1 em \displaystyle y(x)=\frac{x^{2}}{4}-\frac{x}{3}+\frac{1}{2}+C\,x^{-2} obtenho:\n
\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+C=\frac{1}{2}.
Agora simplificar as frações do lado esquerdo (fazer sem calculadora): denominador comum 12:\n
\frac{1}{4}=\frac{3}{12},\quad -\frac{1}{3}=-\frac{4}{12},\quad \frac{1}{2}=\frac{6}{12}.
Somando esses três termos: \dfrac{3-4+6}{12}=\dfrac{5}{12}. Então a equação fica:\n
\frac{5}{12}+C=\frac{1}{2}=\frac{6}{12}.
Logo\n
C=\frac{6}{12}-\frac{5}{12}=\frac{1}{12}.

Resposta

y(x)=\frac{x^{2}}{4}-\frac{x}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{12}\,x^{-2}.

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