Encontre a solução geral de cada EDO abaixo:
y^prime+x y=6 x raizy

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y' + x,y = 6,x,raizy
Isso é uma EDO de Bernoulli (não é linear em y por causa de raizy). Para resolver, vamos usar a substituição v = raizy, que transforma em uma equação linear em v.

Passo 2

Definindo
v = raizy,
temos
y = v^2 e y' = dydx = 2v,dvdx
Substituindo em y' + x,y = 6,x,raizy
2v,dvdx + x,v^2 = 6x,v

Passo 3

Dividindo a equação acima por 2v (assumindo vneq0) obtemos
dvdx + x2,v = 3x
Essa já é uma EDO linear de 1ª ordem para v(x).

Passo 4

O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral tfracx2,dxr) = exp!l(x^24r)
Multiplicando a equação linear por mu(x),
ddxl(v,e^x^2/4r) = 3x,e^x^2/4
Agora integramos em x:
v,e^x^2/4 = integral 3x,e^x^2/4,dx + C
Fazendo u = x^2/4implies du = tfracx2dx, obtemos
integral 3x,e^x^2/4,dx = integral 6,e^u,du = 6,e^u = 6,e^x^2/4
Logo
v,e^x^2/4 = 6,e^x^2/4 + C Longrightarrow v = 6 + C,e^-x^2/4

Passo 5

Voltando à variável original y = v^2, temos
y(x) = l(6 + C,e^-x^2/4r)^2
Além disso, a solução trivial yequiv0 também satisfaz a EDO.

Resposta

A solução geral da EDO é
boxedy(x) = l(6 + C,e^-x^2/4r)^2,
onde C é constante arbitrária (e inclui o caso yequiv0 como solução trivial).

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