Encontre a solução geral de cada EDO abaixo:
y^prime+y=sin x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) y' + y = sin x . Esse tipo de equação é uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o fator integrante, que é uma técnica para encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes na EDO. A equação está na forma padrão:
y' + P(x)y = Q(x)
Aqui, P(x) = 1 e Q(x) = sin x .

Passo 3

Agora, calculamos o fator integrante ( mu(x) ) usando a fórmula:
mu(x) = e^integral P(x) , dx = e^integral 1 , dx = e^x
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^x y' + e^x y = e^x sin x
Isso nos permite reescrever o lado esquerdo como a derivada de e^x y :
ddx (e^x y) = e^x sin x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x :
integral ddx (e^x y) , dx = integral e^x sin x , dx
O lado esquerdo simplifica para e^x y . Para o lado direito, usamos a técnica de integração por partes ou a tabela de integrais para resolver integral e^x sin x , dx , que resulta em:
integral e^x sin x , dx = e^x2 (sin x - cos x) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Então, temos:
e^x y = e^x2 (sin x - cos x) + C
Agora, dividimos ambos os lados por e^x para isolar y :
y = 12 (sin x - cos x) + C e^-x

Resposta

A solução geral da equação diferencial y' + y = sin x é:
y(x) = 12 (sin x - cos x) + C e^-x
onde C é uma constante arbitrária.

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